Demonstre que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que
. Esse assunto está ligado à Mecânica dos Sólidos, mais especificamente ao estudo das tensões principais em um material. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular as tensões principais e utilizar algumas propriedades de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são as tensões principais. Em um ponto qualquer de um material, temos diferentes componentes de tensão:
,
são as tensões normais nas direções x e y, e
é a tensão de cisalhamento. As tensões principais,
e
, são as tensões máximas e mínimas que atuam em direções específicas onde a tensão de cisalhamento é zero.
Passo 3
Para encontrar as tensões principais, usamos a fórmula que vem da matriz de tensões. A matriz de tensões é:
As tensões principais são os autovalores dessa matriz. A soma dos autovalores (tensões principais) é igual à soma dos elementos da diagonal, ou seja:
Passo 4
Agora, o produto dos autovalores é igual ao determinante da matriz de tensões. O determinante de uma matriz 2x2 é calculado assim:
Então, temos:
Resposta
Portanto, demonstramos que
.