Demonstre que: sigma1 cdot sigma2=sigmax cdot sigmay-taux y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que sigma1 cdot sigma2 = sigmax cdot sigmay - taux y^2. Esse assunto está ligado à Mecânica dos Sólidos, mais especificamente ao estudo das tensões principais em um material. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular as tensões principais e utilizar algumas propriedades de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são as tensões principais. Em um ponto qualquer de um material, temos diferentes componentes de tensão: sigmax, sigmay são as tensões normais nas direções x e y, e tauxy é a tensão de cisalhamento. As tensões principais, sigma1 e sigma2, são as tensões máximas e mínimas que atuam em direções específicas onde a tensão de cisalhamento é zero.

Passo 3

Para encontrar as tensões principais, usamos a fórmula que vem da matriz de tensões. A matriz de tensões é:
sigmax & tauxy tauxy & sigmay
As tensões principais são os autovalores dessa matriz. A soma dos autovalores (tensões principais) é igual à soma dos elementos da diagonal, ou seja:
sigma1 + sigma2 = sigmax + sigmay

Passo 4

Agora, o produto dos autovalores é igual ao determinante da matriz de tensões. O determinante de uma matriz 2x2 é calculado assim:
det = sigmax cdot sigmay - tauxy^2
Então, temos:
sigma1 cdot sigma2 = sigmax cdot sigmay - tauxy^2

Resposta

Portanto, demonstramos que sigma1 cdot sigma2 = sigmax cdot sigmay - taux y^2.

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