6.2 Demonstre que a solução exata da equação
\frac{d^{2} V}{d x^{2}}=f(x) \quad 0<x<L
para
V(x=0)=V_{1} \quad V(x=L)=V_{2}
é
\begin{aligned} V(x)= & {\left[V_{2}-V_{1}-\int_{0}^{L} \int_{0}^{\lambda} f(\mu) d \mu d \lambda\right] \frac{x}{L} } \\\ & +V_{1}+\int_{0}^{x} \int_{0}^{\lambda} f(\mu) d \mu d \lambda \end{aligned}

Passo 1

O enunciado trata de uma EDO de segunda ordem
\frac{d^{2}V}{dx^{2}} = f(x),\quad 0<x<L
com as condições de contorno
V(0)=V_{1},\qquad V(L)=V_{2}.
Para resolver, vamos integrar duas vezes a equação diferencial e depois determinar as constantes de integração a partir das condições de contorno.

Passo 2

Integramos a equação uma vez em x. Como \tfrac{d^{2}V}{dx^{2}}=f(x), temos
\frac{dV}{dx} = \int_{0}^{x} f(\mu)\,d\mu + C_{1},
onde C_{1} é constante de integração.

Passo 3

Integramos novamente de 0 a x. Assim,
V(x) = \int_{0}^{x}\Bigl[\int_{0}^{\lambda} f(\mu)\,d\mu + C_{1}\Bigr]d\lambda + C_{2}.
Distribuindo a integral,
V(x) = \int_{0}^{x}\!\!\int_{0}^{\lambda} f(\mu)\,d\mu\,d\lambda + C_{1}\,x + C_{2},
com C_{2} segunda constante de integração.

Passo 4

Aplicamos a condição em x=0:
V(0) = \int_{0}^{0}\!\!\int_{0}^{\lambda} f(\mu)\,d\mu\,d\lambda + C_{1}\cdot0 + C_{2} = C_{2}.
Como V(0)=V_{1}, segue
C_{2} = V_{1}.

Passo 5

Aplicamos a condição em x=L:
V(L) = \int_{0}^{L}\!\!\int_{0}^{\lambda} f(\mu)\,d\mu\,d\lambda + C_{1}\,L + V_{1} = V_{2}.
Isolando C_{1},
C_{1} = \frac{V_{2} - V_{1} - \displaystyle\int_{0}^{L}\!\!\int_{0}^{\lambda} f(\mu)\,d\mu\,d\lambda}{L}.

Passo 6

Substituindo C_{1} e C_{2} em (\displaystyle V(x)=\int_{0}{x}!!\int_{0}{\lambda} f(\mu),d\mu,d\lambda
  • C_{1}x + C_{2}), obtemos
V(x) = \int_{0}^{x}\!\!\int_{0}^{\lambda} f(\mu)\,d\mu\,d\lambda + \frac{V_{2}-V_{1}-\displaystyle\int_{0}^{L}\!\!\int_{0}^{\lambda} f(\mu)\,d\mu\,d\lambda}{L}\,x + V_{1}.

Resposta

V(x)=\biggl[V_{2}-V_{1}-\int_{0}^{L}\!\!\int_{0}^{\lambda} f(\mu)\,d\mu\,d\lambda\biggr]\frac{x}{L} +V_{1}+\int_{0}^{x}\!\!\int_{0}^{\lambda} f(\mu)\,d\mu\,d\lambda.

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