6.2 Demonstre que a solução exata da equação
para
é
Passo 1
O enunciado trata de uma EDO de segunda ordem
com as condições de contorno
Para resolver, vamos integrar duas vezes a equação diferencial e depois determinar as constantes de integração a partir das condições de contorno.
Passo 2
Integramos a equação uma vez em
. Como
, temos
onde
é constante de integração.
Passo 3
Integramos novamente de
a
. Assim,
Distribuindo a integral,
com
segunda constante de integração.
Passo 4
Aplicamos a condição em
:
Como
, segue
Passo 5
Aplicamos a condição em
:
Isolando
,
Passo 6
Substituindo
e
em (\displaystyle V(x)=\int_{0}{x}!!\int_{0}{\lambda} f(\mu),d\mu,d\lambda
- C_{1}x + C_{2}), obtemos