(2 pontos) Resolva o seguinte PVI:
\left(x+y e^{y / x}\right) d x-x e^{y / x} d y=0, y(1)=0

Passo 1

O enunciado pede resolver o PVI
(x + y e^{y/x})\,dx \;-\; x e^{y/x}\,dy = 0,
com y(1)=0. Esse é um problema de equação diferencial de primeira ordem que fica mais simples se fizermos a substituição homogênea u = \tfrac{y}{x} e depois usarmos separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro colocamos a ODE em forma explícita para dy/dx. Dividindo tudo por dx e isolando dy/dx, obtemos
\frac{dy}{dx} = \frac{x + y e^{y/x}}{x e^{y/x}} = \frac{x}{x e^{y/x}} + \frac{y e^{y/x}}{x e^{y/x}} = e^{-y/x} + \frac{y}{x}.

Passo 3

Agora fazemos a substituição u = \frac{y}{x}. Como y = u\,x, temos
\frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}.
Substituindo na equação de cima dá
u + x\frac{du}{dx} = u + e^{-u}.

Passo 4

Cancelando o termo u dos dois lados sobra
x\frac{du}{dx} = e^{-u},
que é separável:
e^{u}\,du = \frac{dx}{x}.

Passo 5

Integramos ambos os lados:
\int e^{u}\,du = \int \frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad e^{u} = \ln|x| + C.

Passo 6

Voltando a u = \tfrac{y}{x} temos
e^{y/x} = \ln|x| + C.
Usando a condição y(1)=0
e^{0/1} = 1 = \ln(1) + C \quad\Longrightarrow\quad C = 1.
Então
e^{y/x} = \ln(x) + 1.

Passo 7

Tomando logaritmo natural e isolando y,
\frac{y}{x} = \ln\bigl(\ln(x) + 1\bigr) \quad\Longrightarrow\quad y = x \,\ln\bigl(\ln(x) + 1\bigr).
Isso vale para x>0 com \ln(x)+1>0.

Resposta

A solução do PVI é
y(x) = x \,\ln\bigl(\ln(x) + 1\bigr).

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