(2 pontos) Resolva o seguinte PVI:
Passo 1
O enunciado pede resolver o PVI
com
. Esse é um problema de equação diferencial de primeira ordem que fica mais simples se fizermos a substituição homogênea
e depois usarmos separação de variáveis.
Passo 2
Primeiro colocamos a ODE em forma explícita para
. Dividindo tudo por
e isolando
, obtemos
Passo 3
Agora fazemos a substituição
. Como
, temos
Substituindo na equação de cima dá
Passo 4
Cancelando o termo
dos dois lados sobra
que é separável:
Passo 5
Integramos ambos os lados:
Passo 6
Voltando a
temos
Usando a condição
dá
Então
Passo 7
Tomando logaritmo natural e isolando
,
Isso vale para
com
.
Resposta
A solução do PVI é