Demonstre que a transformação de Lorentz se reduz à transformação galileana no limite de baixas velocidades, v \ll c. Justifique o seu tratamento do termo \mathrm{v} x / c^{2} em uma das equações da transformação de Lorentz.

Passo 1

O que o problema pede: demonstrar que a transformação de Lorentz se reduz à transformação galileana no limite de baixas velocidades v \ll c. Em particular, mostrar que as fórmulas
x'=\gamma\,(x-vt)
t'=\gamma\left(t-\frac{v x}{c^{2}}\right)
passam a ser, no limite v\ll c,
x' \approx x - v t
t' \approx t .
Informações dadas: as equações acima são as transformações de Lorentz entre dois referenciais em movimento relativo de velocidade v ao longo do eixo x. Aqui \gamma é o fator de Lorentz, definido por
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}.
O enunciado pede também que eu justifique o tratamento do termo \dfrac{v x}{c^{2}} presente na expressão de t'.

Passo 2

Entendendo as variáveis e a estratégia: explico o que é cada símbolo e qual o parâmetro pequeno que vamos explorar.
  • x,t são as coordenadas (posição e tempo) de um mesmo evento medidas em um referencial S.
  • x',t' são as coordenadas do mesmo evento medidas no referencial S' que se move com velocidade v relativa a S ao longo do eixo x.
  • c é a velocidade da luz e é uma constante muito grande em unidades SI.
  • O parâmetro pequeno é \dfrac{v}{c}. “Baixas velocidades” significa numericamente \dfrac{v}{c}\ll 1. Chamarei esse pequeno parâmetro de \varepsilon\equiv v/c.
A ideia é fazer uma expansão em série para pequenas \varepsilon (série de Taylor / binomial) e desprezar termos de ordem superior em \varepsilon. Vou mostrar que os termos que ficam são exatamente as transformações galileanas.

Passo 3

Expansão do fator \gamma para v\ll c. Usamos a expansão binomial para (1-x)^{-1/2} quando x é pequeno:
(1-x)^{-1/2}=1+\tfrac{1}{2}x+\tfrac{3}{8}x^{2}+\cdots .
Aqui tomamos x=v^{2}/c^{2}=\varepsilon^{2}, que é da ordem \varepsilon^{2}. Portanto
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}=1+\tfrac{1}{2}\frac{v^{2}}{c^{2}}+\mathcal{O}\!\left(\frac{v^{4}}{c^{4}}\right).
Observação didática: esse resultado diz que \gamma-1 é da ordem (v/c)^{2}, ou seja, um número muito pequeno quando v\ll c. Assim correções que multipliquem \gamma-1 serão de ordem \varepsilon^{2}.

Passo 4

Aproximação da transformação de x. Partimos de
x'=\gamma\,(x-vt).
Substituindo a expansão de \gamma:
x'=\left(1+\tfrac{1}{2}\frac{v^{2}}{c^{2}}+\mathcal{O}\!\left(\frac{v^{4}}{c^{4}}\right)\right)(x-vt).
Distribuindo,
x'=x-vt+\tfrac{1}{2}\frac{v^{2}}{c^{2}}\,x+\mathcal{O}\!\left(\frac{v^{3}t}{c^{2}},\frac{v^{4}x}{c^{4}}\right).
Agora vemos que os termos adicionais além de x-vt são da ordem \dfrac{v^{2}}{c^{2}}x ou maiores, isto é, da ordem \varepsilon^{2} multiplicando uma dimensão de comprimento. Para v\ll c esses termos são negligíveis frente aos termos principais x e vt. Logo, até termos de ordem \varepsilon (primeira ordem em v/c) obtemos
x'\approx x-vt,
que é exatamente a transformação galileana para a coordenada espacial.

Passo 5

Aproximação da transformação de t e justificativa de desprezar \dfrac{v x}{c^{2}}. Partimos de
t'=\gamma\left(t-\frac{v x}{c^{2}}\right).
Usamos a mesma expansão de \gamma:
t'=\left(1+\tfrac{1}{2}\frac{v^{2}}{c^{2}}+\cdots\right)\left(t-\frac{v x}{c^{2}}\right).
Distribuindo:
t'=t-\frac{v x}{c^{2}}+\tfrac{1}{2}\frac{v^{2}}{c^{2}}\,t+\mathcal{O}\!\left(\frac{v^{3}x}{c^{4}},\frac{v^{4}t}{c^{4}}\right).
Agora é onde preciso justificar desprezar o termo \dfrac{v x}{c^{2}}. Observe que a razão entre esse termo e t é
\frac{\dfrac{v x}{c^{2}}}{t}=\frac{v}{c}\cdot\frac{x}{c t}.
Interpretação física didática: \dfrac{x}{t} tem dimensão de velocidade; para eventos que envolvem objetos ou sinais não-relativísticos em S, essa velocidade típica chamemos de u (por exemplo, velocidade de um móvel observado), de modo que x\sim u t. Então
\frac{\dfrac{v x}{c^{2}}}{t}\sim \frac{v}{c}\cdot\frac{u}{c}=\left(\frac{v}{c}\right)\left(\frac{u}{c}\right).
Se tanto v quanto u são muito menores que c, o produto \dfrac{v}{c}\dfrac{u}{c} é um número de ordem \varepsilon^{2}, i.e. muito pequeno. Portanto \dfrac{v x}{c^{2}} é de ordem \varepsilon^{2}t e pode ser desprezado em comparação com t quando trabalhamos até ordem \varepsilon. Outra maneira de ver: se estamos interessados apenas no limite v/c\to 0, qualquer termo que contenha v/c multiplicado por uma velocidade x/t finite e \ll c será negligível.
Exemplo numérico rápido para intuir: suponha v\sim 10^{3}\\ \mathrm{m/s} e u\sim 10^{3}\\ \mathrm{m/s} (ordem de uma aeronave ou automóvel), então
\frac{v}{c}\sim 3{,}3\times 10^{-6},\qquad \frac{u}{c}\sim 3{,}3\times 10^{-6},
o produto é \sim 10^{-11}. Assim \dfrac{v x}{c^{2}} é ridiculamente pequeno frente a t e pode ser desprezado.
Com essa justificativa, os termos não desprezáveis em t' são de ordem \dfrac{v^{2}}{c^{2}}t (vindos de \gamma-1 multiplicando t), ou seja, também de ordem \varepsilon^{2}t. Portanto, mantendo apenas a ordem zero em \varepsilon,
t'\approx t.

Passo 6

Conclusão combinando os resultados: para v\ll c (ou, mais formalmente, tomando o limite \dfrac{v}{c}\to 0 e assumindo que as velocidades típicas envolvidas nas coordenadas satisfazem u\ll c), obtemos, até termos de ordem \varepsilon,
x'\approx x-vt,
t'\approx t.
Isso é exatamente a transformação galileana. Portanto a transformação de Lorentz reduz-se à transformação galileana no limite de baixas velocidades. A razão por que podemos descartar o termo \dfrac{v x}{c^{2}} é que ele é da mesma ordem (ou menor) que outros termos de ordem \varepsilon^{2} quando as velocidades envolvidas são não-relativísticas, logo é negligenciável no limite v/c\to 0.

Resposta

x'=x-vt
t'=t

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