Demonstre que a transformação de Lorentz se reduz à transformação galileana no limite de baixas velocidades,
. Justifique o seu tratamento do termo
em uma das equações da transformação de Lorentz.
Passo 1
O que o problema pede: demonstrar que a transformação de Lorentz se reduz à transformação galileana no limite de baixas velocidades
. Em particular, mostrar que as fórmulas
passam a ser, no limite
,
Informações dadas: as equações acima são as transformações de Lorentz entre dois referenciais em movimento relativo de velocidade
ao longo do eixo
. Aqui
é o fator de Lorentz, definido por
O enunciado pede também que eu justifique o tratamento do termo
presente na expressão de
.
Passo 2
Entendendo as variáveis e a estratégia: explico o que é cada símbolo e qual o parâmetro pequeno que vamos explorar.
-
são as coordenadas (posição e tempo) de um mesmo evento medidas em um referencial . -
são as coordenadas do mesmo evento medidas no referencial que se move com velocidade relativa a ao longo do eixo . -
é a velocidade da luz e é uma constante muito grande em unidades SI. - O parâmetro pequeno é
. “Baixas velocidades” significa numericamente . Chamarei esse pequeno parâmetro de .
A ideia é fazer uma expansão em série para pequenas
(série de Taylor / binomial) e desprezar termos de ordem superior em
. Vou mostrar que os termos que ficam são exatamente as transformações galileanas.
Passo 3
Expansão do fator
para
. Usamos a expansão binomial para
quando
é pequeno:
Aqui tomamos
, que é da ordem
. Portanto
Observação didática: esse resultado diz que
é da ordem
, ou seja, um número muito pequeno quando
. Assim correções que multipliquem
serão de ordem
.
Passo 4
Aproximação da transformação de
. Partimos de
Substituindo a expansão de
:
Distribuindo,
Agora vemos que os termos adicionais além de
são da ordem
ou maiores, isto é, da ordem
multiplicando uma dimensão de comprimento. Para
esses termos são negligíveis frente aos termos principais
e
. Logo, até termos de ordem
(primeira ordem em
) obtemos
que é exatamente a transformação galileana para a coordenada espacial.
Passo 5
Aproximação da transformação de
e justificativa de desprezar
. Partimos de
Usamos a mesma expansão de
:
Distribuindo:
Agora é onde preciso justificar desprezar o termo
. Observe que a razão entre esse termo e
é
Interpretação física didática:
tem dimensão de velocidade; para eventos que envolvem objetos ou sinais não-relativísticos em
, essa velocidade típica chamemos de
(por exemplo, velocidade de um móvel observado), de modo que
. Então
Se tanto
quanto
são muito menores que
, o produto
é um número de ordem
, i.e. muito pequeno. Portanto
é de ordem
e pode ser desprezado em comparação com
quando trabalhamos até ordem
. Outra maneira de ver: se estamos interessados apenas no limite
, qualquer termo que contenha
multiplicado por uma velocidade
finite e
será negligível.
Exemplo numérico rápido para intuir: suponha
e
(ordem de uma aeronave ou automóvel), então
o produto é
. Assim
é ridiculamente pequeno frente a
e pode ser desprezado.
Com essa justificativa, os termos não desprezáveis em
são de ordem
(vindos de
multiplicando
), ou seja, também de ordem
. Portanto, mantendo apenas a ordem zero em
,
Passo 6
Conclusão combinando os resultados: para
(ou, mais formalmente, tomando o limite
e assumindo que as velocidades típicas envolvidas nas coordenadas satisfazem
), obtemos, até termos de ordem
,
Isso é exatamente a transformação galileana. Portanto a transformação de Lorentz reduz-se à transformação galileana no limite de baixas velocidades. A razão por que podemos descartar o termo
é que ele é da mesma ordem (ou menor) que outros termos de ordem
quando as velocidades envolvidas são não-relativísticas, logo é negligenciável no limite
.