Considere a redefinição do momento linear relativístico
, onde
é a massa de repouso e
. Determine sob quais condições o momento linear
se conserva.
Passo 1
O enunciado dá a redefinição do momento linear relativístico de uma partícula isolada como
, com
. A pergunta é: determine sob quais condições o momento linear
se conserva.\n
Informações relevantes do enunciado:
é a massa de repouso (constante),
é a velocidade da partícula,
é a velocidade da luz, e
depende de
.\n
O que o enunciado pede: identificar as condições (matemáticas e físicas) que garantem que permaneça constante no tempo (isto é, que
).\n
Informações relevantes do enunciado:
O que o enunciado pede: identificar as condições (matemáticas e físicas) que garantem que
Passo 2
O que significa “conserva” aqui? Significa que o momento não muda com o tempo; matematicamente:
Na mecânica (clássica ou relativística) existe a relação entre força e taxa de variação do momento:
Portanto, uma condição imediata e física é que a força resultante sobre a partícula seja nula. Vamos agora mostrar isso de forma explícita usando a expressão relativística de
, para ver se existe alguma outra situação possível além de
.
Passo 3
Calculemos a derivada temporal de
. Para isso precisamos da derivada de
. Escrevendo
onde
. Aplicando a regra da cadeia:
Observando que
e definindo a aceleração
, obtemos a forma compacta útil:
Passo 4
Agora derivamos
:
Substituindo
do passo anterior:
Queremos saber quando esta quantidade é o vetor nulo.
Passo 5
Para analisar
, decompomos a aceleração em componentes paralela e perpendicular à velocidade:
A segunda parcela
é paralela a
; logo a parte perpendicular de
não é cancelada por essa parcela. Portanto, para que a soma seja zero é necessário que
Assim
deve ser paralela a
. Agora examine a componente paralela: escrevendo
(com
), a equação paralela reduz-se a
O coeficiente ao lado de
é
portanto a equação torna-se
, o que implica
. Juntando com
, obtemos
.
Passo 6
Concluímos matematicamente: para uma partícula com
,
Fisicamente isso significa que a velocidade
é constante no tempo. Em termos de forças, usando
, a condição equivalente é que a força resultante sobre a partícula seja nula:
Para um sistema de partículas a generalização é: o momento linear total
se conserva se e somente se a soma das forças externas for zero (sendo necessário incluir também o momento carregado por campos, se houver interação por campos, para ter um sistema realmente isolado). Em termos mais gerais, a conservação do momento decorre da homogeneidade do espaço (princípio de Noether): se as leis não mudam de um ponto do espaço para outro, o momento total é conservado.
Passo 7
Exemplos rápidos para fixar:
- Partícula livre (sem forças externas):
constante conservado. - Partícula sob campo elétrico uniforme:
não é conservado. - Duas partículas que colidem isoladamente (sem forças externas): o momento total relativístico
é conservado (mesmo que os momentos individuais mudem), desde que incluamos qualquer momento transportado pelos campos, quando for o caso.
Resposta
Para uma partícula:
se conserva se, e somente se, a aceleração for nula, isto é
(equivalente a
).\n
Para um sistema: o momento linear total se conserva se a soma das forças externas for zero (ou, de forma mais geral, se o sistema for isolado, incluindo o momento transportado por campos).
Para um sistema: o momento linear total