Considere a redefinição do momento linear relativístico \vec{p}=\gamma(V) m_{0} \vec{V}, onde \mathrm{m}_{0} é a massa de repouso e \gamma(V)=1 / \sqrt{1-\frac{V^{2}}{c^{2}}}. Determine sob quais condições o momento linear \overrightarrow{\mathrm{p}} se conserva.

Passo 1

O enunciado dá a redefinição do momento linear relativístico de uma partícula isolada como \vec{p}=\gamma(V)\,m_{0}\,\vec{V}, com \gamma(V)=\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{V^{2}}{c^{2}}}}. A pergunta é: determine sob quais condições o momento linear \vec{p} se conserva.\n
Informações relevantes do enunciado:
\;m_{0} é a massa de repouso (constante), \;\vec{V} é a velocidade da partícula, \;c é a velocidade da luz, e \;\gamma(V) depende de \vec{V}.\n
O que o enunciado pede: identificar as condições (matemáticas e físicas) que garantem que \vec{p} permaneça constante no tempo (isto é, que \dfrac{d\vec{p}}{dt}=0).\n

Passo 2

O que significa “conserva” aqui? Significa que o momento não muda com o tempo; matematicamente:
\frac{d\vec{p}}{dt}=0.
Na mecânica (clássica ou relativística) existe a relação entre força e taxa de variação do momento:
\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}.
Portanto, uma condição imediata e física é que a força resultante sobre a partícula seja nula. Vamos agora mostrar isso de forma explícita usando a expressão relativística de \vec{p}, para ver se existe alguma outra situação possível além de \vec{F}=0.

Passo 3

Calculemos a derivada temporal de \vec{p}=\gamma(V)\,m_{0}\,\vec{V}. Para isso precisamos da derivada de \gamma. Escrevendo
\gamma(V)=\biggl(1-\frac{V^{2}}{c^{2}}\biggr)^{-1/2},
onde V=|\vec{V}|. Aplicando a regra da cadeia:
\frac{d\gamma}{dt}=\frac{d}{dt}\biggl(1-\frac{V^{2}}{c^{2}}\biggr)^{-1/2} = \frac{1}{2}\biggl(1-\frac{V^{2}}{c^{2}}\biggr)^{-3/2}\cdot\frac{2\vec{V}\cdot\frac{d\vec{V}}{dt}}{c^{2}}.
Observando que \gamma^{3}=\bigl(1-\dfrac{V^{2}}{c^{2}}\bigr)^{-3/2} e definindo a aceleração \vec{a}=\dfrac{d\vec{V}}{dt}, obtemos a forma compacta útil:
\frac{d\gamma}{dt}=\gamma^{3}\,\frac{\vec{V}\cdot\vec{a}}{c^{2}}.

Passo 4

Agora derivamos \vec{p}:
\frac{d\vec{p}}{dt}=m_{0}\frac{d}{dt}(\gamma\vec{V}) = m_{0}\bigl(\gamma\vec{a}+\vec{V}\,\frac{d\gamma}{dt}\bigr).
Substituindo \dfrac{d\gamma}{dt} do passo anterior:
\frac{d\vec{p}}{dt} = m_{0}\Bigl(\gamma\vec{a}+\vec{V}\,\gamma^{3}\frac{\vec{V}\cdot\vec{a}}{c^{2}}\Bigr) = m_{0}\gamma\Bigl(\vec{a}+\gamma^{2}\frac{\vec{V}\cdot\vec{a}}{c^{2}}\;\vec{V}\Bigr).
Queremos saber quando esta quantidade é o vetor nulo.

Passo 5

Para analisar \vec{a}+\gamma^{2}\dfrac{\vec{V}\cdot\vec{a}}{c^{2}}\vec{V}=\vec{0}, decompomos a aceleração em componentes paralela e perpendicular à velocidade:
\vec{a}=\vec{a}_{\parallel}+\vec{a}_{\perp},\quad\text{onde}\quad \vec{a}_{\parallel}=\frac{\vec{V}\cdot\vec{a}}{V^{2}}\vec{V}.
A segunda parcela \gamma^{2}\dfrac{\vec{V}\cdot\vec{a}}{c^{2}}\vec{V} é paralela a \vec{V}; logo a parte perpendicular de \vec{a} não é cancelada por essa parcela. Portanto, para que a soma seja zero é necessário que
\vec{a}_{\perp}=\vec{0}.
Assim \vec{a} deve ser paralela a \vec{V}. Agora examine a componente paralela: escrevendo \vec{a}_{\parallel}=a_{\parallel}\,\hat{V} (com \hat{V}=\vec{V}/V), a equação paralela reduz-se a
a_{\parallel} + \gamma^{2}\frac{V^{2}}{c^{2}}a_{\parallel}=0.
O coeficiente ao lado de a_{\parallel} é
1+\gamma^{2}\frac{V^{2}}{c^{2}} =\frac{1}{1-\dfrac{V^{2}}{c^{2}}}=\gamma^{2},
portanto a equação torna-se \gamma^{2}a_{\parallel}=0, o que implica a_{\parallel}=0. Juntando com \vec{a}_{\perp}=\vec{0}, obtemos \vec{a}=\vec{0}.

Passo 6

Concluímos matematicamente: para uma partícula com m_{0}>0,
\frac{d\vec{p}}{dt}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \vec{a}=\frac{d\vec{V}}{dt}=\vec{0}.
Fisicamente isso significa que a velocidade \vec{V} é constante no tempo. Em termos de forças, usando \vec{F}=d\vec{p}/dt, a condição equivalente é que a força resultante sobre a partícula seja nula:
\vec{F}_{\text{res}}=\vec{0}.
Para um sistema de partículas a generalização é: o momento linear total
\sum \vec{p} se conserva se e somente se a soma das forças externas for zero (sendo necessário incluir também o momento carregado por campos, se houver interação por campos, para ter um sistema realmente isolado). Em termos mais gerais, a conservação do momento decorre da homogeneidade do espaço (princípio de Noether): se as leis não mudam de um ponto do espaço para outro, o momento total é conservado.

Passo 7

Exemplos rápidos para fixar:
  • Partícula livre (sem forças externas): \vec{a}=\vec{0}\Rightarrow\vec{V} constante \Rightarrow\vec{p} conservado.
  • Partícula sob campo elétrico uniforme: \vec{F}=q\vec{E}\neq\vec{0}\Rightarrow\vec{p} não é conservado.
  • Duas partículas que colidem isoladamente (sem forças externas): o momento total relativístico \vec{p}_{1}+\vec{p}_{2} é conservado (mesmo que os momentos individuais mudem), desde que incluamos qualquer momento transportado pelos campos, quando for o caso.

Resposta

Para uma partícula: \vec{p} se conserva se, e somente se, a aceleração for nula, isto é \dfrac{d\vec{V}}{dt}=\vec{0} (equivalente a \vec{F}_{\text{res}}=\vec{0}).\n
Para um sistema: o momento linear total \sum\vec{p} se conserva se a soma das forças externas for zero (ou, de forma mais geral, se o sistema for isolado, incluindo o momento transportado por campos).

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