(a) Reveja os argumentos que conduziram da equação t^{\prime}=\gamma\left(t-\frac{\gamma^{2}-1}{\gamma^{2} v} x\right) à equação \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}} e mostre que \gamma^{2}=1 /\left(1-v^{2} / c^{2}\right). (b) Considerando o sinal dos intervalos espaciais \Delta x e \Delta x^{\prime}, explique porque se torna a raiz quadrada positiva para obter \gamma=1 / \sqrt{1-v^{2} / c^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) rever os argumentos que levam da equação inicial
t'=\gamma\!\left(t-\frac{\gamma^{2}-1}{\gamma^{2} v}x\right)
à expressão
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}
e mostrar que
\gamma^{2}=\frac{1}{1-v^{2}/c^{2}}.
(b) Pedir que, considerando o sinal dos intervalos espaciais \Delta x e \Delta x', se explique por que se toma a raiz quadrada positiva ao obter \gamma=1/\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}.
Informações dadas explicitamente: a equação escrita para t' e a constante c (a velocidade da luz) aparecem implicitamente na relação buscada. Não há outras figuras ou dados; devemos deduzir a relação entre os coeficientes para recuperar a forma usual da transformação de Lorentz.

Passo 2

Primeira observação técnica: a forma usual da transformação de tempo de Lorentz é
t'=\gamma\!\left(t-\frac{v}{c^{2}}x\right).
Comparando com a equação dada
t'=\gamma\!\left(t-\frac{\gamma^{2}-1}{\gamma^{2} v}x\right),
concluímos que os coeficientes do termo multiplicando x devem ser iguais. Ou seja, devemos ter
\frac{\gamma^{2}-1}{\gamma^{2} v}=\frac{v}{c^{2}}.
Aqui usei apenas a comparação direta dos fatores que multiplicam x em duas formas da mesma transformação de tempo.

Passo 3

Agora manipulamos algebricamente a equação
\frac{\gamma^{2}-1}{\gamma^{2} v}=\frac{v}{c^{2}}.
Multiplico ambos os lados por \gamma^{2} v (assumindo v\neq0; o caso v=0 é trivial e leva a \gamma=1):
\gamma^{2}-1=\gamma^{2}\frac{v^{2}}{c^{2}}.
Expliquei cada passo: multiplicar elimina o denominador \gamma^{2} v.

Passo 4

Reescrevo a equação do Passo 3 isolando os termos com \gamma^{2}:
\gamma^{2}-\gamma^{2}\frac{v^{2}}{c^{2}}=1.
Fatorando \gamma^{2} no lado esquerdo:
\gamma^{2}\!\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)=1.
Agora isolo \gamma^{2} dividindo ambos os lados por \left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right):
\gamma^{2}=\frac{1}{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}.
Isto mostra exatamente a relação pedida para \gamma^{2}.

Passo 5

Tomando raiz quadrada em ambos os lados obtemos duas possibilidades matemáticas:
\gamma=\pm\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}.
Ou seja, a equação algébrica admite as duas raízes, positiva e negativa. Ainda não fiz interpretação física; apenas resolvi a equação.

Passo 6

Agora explico por que escolhemos a raiz positiva. Há vários argumentos físicos e de continuidade que justificam isso; vou apresentar dois, simples e intuitivos.
Argumento 1 — limite de velocidade nula (continuidade com a identidade):
quando v\to0 a transformação de Lorentz deve reduzir-se à transformação identidade entre as coordenadas (porque as duas bases coincidem). Assim esperamos t'\to t e x'\to x. Para v=0 a fórmula de \gamma deve dar \gamma=1. Entre as duas raízes \pm 1 a escolha coerente é a raiz positiva \gamma=+1. Como \gamma depende continuamente de v, para pequenos v devemos ter \gamma próximo de +1, não de -1. Portanto a escolha física é
\gamma=+\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}.
Argumento 2 — consistência com o sinal dos intervalos espaciais \Delta x e \Delta x' e com a orientação temporal:
use a transformação espacial correspondente
\Delta x'=\gamma\!\left(\Delta x-v\Delta t\right).
Considere dois eventos que ocorrem no mesmo lugar em S, isto é \Delta x=0. Então
\Delta x'=-\gamma v\Delta t.
Se v>0 e \Delta t>0 (dois eventos ocorrendo em ordem temporal positiva), então \Delta x' terá sinal oposto ao de v\Delta t multiplicado por \gamma. Para que a direção do deslocamento espacial em S' tenha o sentido correto e para que a transformação varie continuamente com v (novamente, conectando-se à identidade em v=0), \gamma deve ser positivo; se \gamma fosse negativo os sinais das separações espaciais e temporais seriam trocados de forma não física e haveria descontinuidade na passagem por v=0. Em particular, a transformação com \gamma<0 corresponderia à composição da transformação física com uma inversão de tempo ou de orientação que não pertence ao grupo contínuo de transformações entre referenciais inerciais em movimento relativo pequeno.
Portanto, exigindo continuidade com v=0 e preservação da orientação (temporal e espacial) das separações de eventos, escolhemos a raiz positiva.

Resposta

\gamma^{2}=\dfrac{1}{1-v^{2}/c^{2}}\n \gamma=+\dfrac{1}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}

Exercícios relacionados