1. Para a função a seguir: (a) apresente as equações de magnitude (dB) e fase (graus); (b) esboce o diagrama de bode, módulo e fase, a partir de suas assíntotas (apresente todos os pontos de quebra valores/inclinações/frequências.
G(s)=\frac{10 s(s+2000)}{(s+2)(s+200)}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função
G(s)=\frac{10\,s(s+2000)}{(s+2)(s+200)}
(a) apresentar as equações do módulo (em dB) e da fase (em graus) da resposta em frequência G(j\omega);
(b) esboçar (a partir das assíntotas) os diagramas de Bode — módulo e fase — indicando todos os pontos de quebra, suas frequências, os valores/inclinações das assíntotas e pontos numéricos de referência que ajudem no traçado.
Informações dadas extraídas do enunciado:
  • Ganho numérico: 10.
  • Zeros: \;s=0 (zero na origem) e \;s=-2000 (zero em -2000).
  • Polos: \;s=-2 e \;s=-200.
  • Queremos a resposta em frequência com s=j\omega, \omega em rad/s.

Passo 2

Transformar a função para resposta em frequência e escrever a expressão do módulo (valor absoluto).
Substituindo s=j\omega temos
G(j\omega)=\frac{10\,(j\omega)\,(j\omega+2000)}{(j\omega+2)(j\omega+200)}.
O módulo é produto/quotiente dos módulos dos fatores. Usando |j\omega|=\omega e |j\omega+a|=\sqrt{\omega^{2}+a^{2}}, obtemos a expressão exata do módulo:
|G(j\omega)|=\frac{10\;\omega\;\sqrt{\omega^{2}+2000^{2}}}{\sqrt{\omega^{2}+2^{2}}\;\sqrt{\omega^{2}+200^{2}}}.
Converter para dB é só usar 20\log_{10}(\cdot). Assim a equação do módulo em dB é
\boxed{\;20\log_{10}|G(j\omega)| = 20\log_{10}10 \;+\; 20\log_{10}\omega \;+\; 10\log_{10}(\omega^{2}+2000^{2}) \;-\; 10\log_{10}(\omega^{2}+2^{2}) \;-\; 10\log_{10}(\omega^{2}+200^{2})\;.\;}
Explicação didática (por que essa forma): cada fator do polinômio contribui ao logaritmo como soma/subtração de termos. O fator numérico 10 vira 20\log_{10}10. O zero na origem ( s) vira 20\log_{10}\omega. Cada fator do tipo (j\omega+a) vira 10\log_{10}(\omega^{2}+a^{2}) quando se toma 20\log_{10} do módulo (porque 20\log_{10}\sqrt{\omega^2+a^2}=10\log_{10}(\omega^2+a^2)).

Passo 3

Equação da fase (argumento) e explicação.
O argumento (em graus) soma/subtrai os ângulos de cada fator:
  • \angle(j\omega)=+90^\circ (zero na origem),
  • \angle(j\omega+a)=\arctan\!\left(\dfrac{\omega}{a}\right) (em radianos; converteremos para graus multiplicando por 180/\pi).
Logo a expressão exata da fase é
\boxed{\; \angle G(j\omega)=90^\circ \;+\; \arctan\!\left(\dfrac{\omega}{2000}\right)\cdot\dfrac{180^\circ}{\pi} \;-\; \arctan\!\left(\dfrac{\omega}{2}\right)\cdot\dfrac{180^\circ}{\pi} \;-\; \arctan\!\left(\dfrac{\omega}{200}\right)\cdot\dfrac{180^\circ}{\pi} \;.\;}
Didática: cada polo (j\omega+a)^{-1} subtrai \arctan(\omega/a) e cada zero j\omega+a soma \arctan(\omega/a). O termo j\omega +90^\circ em todas as frequências (ângulo do número imaginário puro).

Passo 4

Identificar frequências de quebra (corner frequencies) e contribuição de inclinações para o diagrama de módulo assintótico.
Fatores e suas frequências de quebra \omega_c:
  • Zero na origem: \omega=0 (contribui com uma inclinação constante de +20 dB/dec desde baixas frequências).
  • Polo em -2: \omega_{p1}=2 rad/s.
  • Polo em -200: \omega_{p2}=200 rad/s.
  • Zero em -2000: \omega_{z2}=2000 rad/s.
Regra prática (construção das assíntotas):
  • Cada zero simples adiciona +20 dB/década à inclinação a partir de sua \omega_c.
  • Cada polo simples subtrai 20 dB/década a partir de sua \omega_c.
  • Soma-se as contribuições em cada intervalo para obter a inclinação assintótica.
Inclinações por intervalo (assintótico):
  • Para \omega\ll 2: apenas o zero na origem atua → inclinação inicial +20 dB/dec.
  • Para 2<\omega<200: entra o polo em 2 → inclinação passa a +20-20=0 dB/dec (plano).
  • Para 200<\omega<2000: entra o polo em 200 → inclinação passa a 0-20=-20 dB/dec.
  • Para \omega>2000: entra o zero em 2000 → inclinação passa a -20+20=0 dB/dec (plano novamente).
Então as mudanças de inclinação ocorrem nas frequências \omega=2,\;200,\;2000 (além do comportamento do zero na origem).

Passo 5

Calcular alguns valores numéricos de referência (magnitudes exatas em dB nos pontos de quebra) — isso ajuda a traçar as assíntotas corretamente.
Usaremos a fórmula do Passo 2 e calcularemos 20\log_{10}|G(j\omega)| em \omega=2,\;200,\;2000. Mostrar contas:
Primeiro o termo constante:
20\log_{10}10 = 20\\ \text{dB}.
Agora em \omega=2 rad/s:
20\log_{10}\omega = 20\log_{10}2 = 20(0{,}30103)=6{,}0206\\ \text{dB}.
10\log_{10}(\omega^{2}+2000^{2})=10\log_{10}(4+4\,000\,000)\approx10\log_{10}(4\,000\,004)\approx66{,}0206\\ \text{dB}.
10\log_{10}(\omega^{2}+2^{2})=10\log_{10}(4+4)=10\log_{10}8\approx9{,}0309\\ \text{dB}.
10\log_{10}(\omega^{2}+200^{2})=10\log_{10}(4+40\,000)\approx10\log_{10}(40\,004)\approx46{,}0206\\ \text{dB}.
Somando/subtraindo:
20 + 6{,}0206 +66{,}0206 -9{,}0309 -46{,}0206 \approx 36{,}99\\ \text{dB}.
Portanto em \omega=2: \;20\log_{10}|G(j2)|\approx 36{,}99\\ \text{dB}.
Em \omega=200 rad/s:
20\log_{10}\omega = 20\log_{10}200 = 20(2{,}30103)=46{,}0206\\ \text{dB}.
10\log_{10}(\omega^{2}+2000^{2})=10\log_{10}(40\,000+4\,000\,000)=10\log_{10}(4\,040\,000)\approx66{,}0638\\ \text{dB}.
10\log_{10}(\omega^{2}+2^{2})\approx10\log_{10}(40\,004)\approx46{,}0206\\ \text{dB}.
10\log_{10}(\omega^{2}+200^{2})=10\log_{10}(40\,000+40\,000)=10\log_{10}(80\,000)\approx49{,}0309\\ \text{dB}.
Somando:
20 +46{,}0206 +66{,}0638 -46{,}0206 -49{,}0309 \approx 37{,}03\\ \text{dB}.
Portanto em \omega=200: \;20\log_{10}|G(j200)|\approx 37{,}03\\ \text{dB}.
Em \omega=2000 rad/s:
20\log_{10}\omega = 20\log_{10}2000 = 20(3{,}30103)=66{,}0206\\ \text{dB}.
10\log_{10}(\omega^{2}+2000^{2})=10\log_{10}(4\,000\,000+4\,000\,000)=10\log_{10}(8\,000\,000)\approx69{,}0309\\ \text{dB}.
10\log_{10}(\omega^{2}+2^{2})\approx10\log_{10}(4\,000\,004)\approx66{,}0206\\ \text{dB}.
10\log_{10}(\omega^{2}+200^{2})\approx10\log_{10}(4\,000\,000+40\,000)=10\log_{10}(4\,040\,000)\approx66{,}0638\\ \text{dB}.
Somando:
20 +66{,}0206 +69{,}0309 -66{,}0206 -66{,}0638 \approx 22{,}97\\ \text{dB}.
Logo em \omega=2000: \;20\log_{10}|G(j2000)|\approx 22{,}97\\ \text{dB}.
Comentário sobre esses números: note que entre \omega=2 e \omega=200 o valor é praticamente constante ( \approx37 dB) porque a inclinação assintótica nesse intervalo é 0 dB/dec. Entre 200 e 2000 a assíntota diz que deve cair -20 dB/dec; de 37 dB (em 200) a assíntota estimaria \approx17 dB em 2000, mas o valor exato calculado é \approx23 dB — discrepâncias típicas perto de quebras (devido às transições e efeito combinado de vários polos/zeros). Para desenho assintótico, usa-se as retas por segmentos; para pontos de referência marcamos os valores exatos calculados acima.

Passo 6

Construção assintótica da fase (regra prática) e valores aproximados em pontos-chave.
Regra prática para fase de um polo/zero de 1ª ordem: a fase faz uma transição de 0^\circ a \pm90^\circ ao longo de duas décadas centradas na frequência de quebra \omega_c (ou seja, começa a mudar aproximadamente em \omega_c/10, atinge \pm45^\circ em \omega=\omega_c e termina em \omega=10\omega_c). O zero na origem já fornece +90^\circ constante.
Aplicando ao nosso caso:
  • Zero na origem: +90° (constante).
  • Polo em 2: contribui -90^\circ entre 0{,}2 e 20 rad/s (meio da transição em \omega=2 -45^\circ aí).
  • Polo em 200: contribui -90^\circ entre 20 e 2000 rad/s (meio em \omega=200).
  • Zero em 2000: contribui +90^\circ entre 200 e 20\,000 rad/s (meio em \omega=2000).
As fases assintóticas combinadas (valores aproximados por intervalo):
  • \omega<0{,}2: só o zero na origem ativa → \approx +90^\circ.
  • \omega\approx2: primeira transição; valor aproximado (usando expressão exata) é \approx +44{,}5^\circ.
  • \omega\approx200: após o efeito do polo em 2 e já iniciando o polo em 200, valor exato \approx -38{,}7^\circ.
  • \omega\approx2000: meio da transição do zero em 2000, cálculo exato dá \approx -39{,}2^\circ.
  • \omega\gg 20000: todas as transições concluídas: limite \angle G(j\omega)\to 0^\circ (porque somatório de fases dos polos e zeros finitos cancela o +90^\circ do zero na origem).
Exemplos de cálculo exato (já usado no passo 5 para alguns pontos):
  • Em \omega=2:
\angle G(j2)=90^\circ+\arctan\!\left(\tfrac{2}{2000}\right)\cdot\tfrac{180}{\pi}-\arctan(1)\cdot\tfrac{180}{\pi}-\arctan\!\left(\tfrac{2}{200}\right)\cdot\tfrac{180}{\pi}\approx44{,}48^\circ.
  • Em \omega=200:
\angle G(j200)\approx -38{,}72^\circ.
  • Em \omega=2000:
\angle G(j2000)\approx -39{,}23^\circ.
Didática final para a fase assintótica: desenhe linhas retas que mudam linearmente (em deg por década) começando em \omega_c/10 e terminando em 10\omega_c para cada polo/zero; some-as às fases das outras contribuições (incluindo o +90^\circ fixo do zero na origem).

Passo 7

Instruções passo-a-passo para esboçar os diagramas de Bode (módulo e fase) a partir das assíntotas — para você usar na prova rapidamente:
  1. Marque no eixo logarítmico de frequência os pontos \omega=2,\;200,\;2000 (e opcionalmente \omega=0{,}2,\;20,\;20\,000 para transições de fase).
  2. Para o módulo:
    • Comece em uma linha com inclinação +20 dB/dec para \omega<2. Calque um ponto de referência exato em \omega=2 com valor \approx36{,}99 dB (calculado).
    • Em \omega=2 mude a inclinação para 0 dB/dec (reta horizontal) até \omega=200. Em \omega=200 marque o ponto \approx37{,}03 dB.
    • Em \omega=200 mude a inclinação para -20 dB/dec até \omega=2000. A assíntota prevê descida; valor exato em \omega=2000 é \approx22{,}97 dB.
    • Em \omega=2000 mude a inclinação para 0 dB/dec (reta horizontal) para frequências mais altas.
  3. Para a fase:
    • Coloque \angle G\approx+90^\circ para \omega\ll0{,}2.
    • Entre 0{,}2 e 20 inclinação aproximada é -45^\circ por década por conta do polo em 2 (fazendo a fase cair de +90^\circ em direção a +0^\circ parcial). Em \omega=2 a fase está por volta de +44{,}5^\circ.
    • Entre 20 e 2000 a fase sofre mais queda por causa do polo em 200 (outro -90^\circ ao longo de duas décadas). Em \omega=200 a fase está por volta de -38{,}7^\circ.
    • Entre 200 e 20\,000 também entra o zero em 2000 (que adiciona até +90^\circ ao longo de duas décadas), então a fase final vai subir lentamente do valor negativo em direção a 0^\circ para \omega\to\infty. Em \omega=2000 a fase exata \approx -39{,}2^\circ.
    • Para \omega\gg20\,000 a fase aproxima-se de 0^\circ.
  4. Marque os valores exatos calculados nos pontos de quebra ( \omega=2,200,2000) — isso dá referência e permite ajustar a reta assintótica para ficar coerente com o valor real.

Resposta

(a) Equação do módulo (em dB):
20\log_{10}|G(j\omega)| = 20\log_{10}10 + 20\log_{10}\omega + 10\log_{10}(\omega^{2}+2000^{2}) - 10\log_{10}(\omega^{2}+2^{2}) - 10\log_{10}(\omega^{2}+200^{2}).
(b) Equação da fase (em graus):
\angle G(j\omega)=90^\circ + \arctan\!\left(\dfrac{\omega}{2000}\right)\dfrac{180^\circ}{\pi} - \arctan\!\left(\dfrac{\omega}{2}\right)\dfrac{180^\circ}{\pi} - \arctan\!\left(\dfrac{\omega}{200}\right)\dfrac{180^\circ}{\pi}.
Pontos de quebra e inclinações assintóticas (módulo):
  • Quebras em \omega=2,\;200,\;2000 rad/s (além do zero na origem).
  • Inclinações por intervalo:
    • \omega<2: +20 dB/dec (zero na origem).
    • 2<\omega<200: 0 dB/dec (entrada do polo em 2 reduzindo +20 para 0).
    • 200<\omega<2000: -20 dB/dec (entrada do polo em 200).
    • \omega>2000: 0 dB/dec (entrada do zero em 2000 compensa para voltar a 0).
  • Valores numéricos de referência (magnitudes exatas):
    • 20\log_{10}|G(j2)|\approx 36{,}99\\ \text{dB}.
    • 20\log_{10}|G(j200)|\approx 37{,}03\\ \text{dB}.
    • 20\log_{10}|G(j2000)|\approx 22{,}97\\ \text{dB}.
Pontos-chave da fase (valores aproximados/exatos):
  • \omega\ll0{,}2: \angle G\approx +90^\circ.
  • \omega=2: \angle G(j2)\approx +44{,}48^\circ.
  • \omega=200: \angle G(j200)\approx -38{,}72^\circ.
  • \omega=2000: \angle G(j2000)\approx -39{,}23^\circ.
  • \omega\to\infty: \angle G(j\omega)\to 0^\circ.
Use esses dados e as inclinações para traçar as retas assintóticas do diagrama de Bode (módulo e fase). Boa sorte — respira fundo, marca as quebras no eixo log e vai desenhando segmento a segmento; se quiser eu desenho explicitamente os traços numerados passo a passo.

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