- Para a função a seguir: (a) apresente as equações de magnitude (dB) e fase (graus); (b) esboce o diagrama de bode, módulo e fase, a partir de suas assíntotas (apresente todos os pontos de quebra valores/inclinações/frequências.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função
(a) apresentar as equações do módulo (em dB) e da fase (em graus) da resposta em frequência
;
(b) esboçar (a partir das assíntotas) os diagramas de Bode — módulo e fase — indicando todos os pontos de quebra, suas frequências, os valores/inclinações das assíntotas e pontos numéricos de referência que ajudem no traçado.
(b) esboçar (a partir das assíntotas) os diagramas de Bode — módulo e fase — indicando todos os pontos de quebra, suas frequências, os valores/inclinações das assíntotas e pontos numéricos de referência que ajudem no traçado.
Informações dadas extraídas do enunciado:
- Ganho numérico:
. - Zeros:
(zero na origem) e (zero em ). - Polos:
e . - Queremos a resposta em frequência com
, em rad/s.
Passo 2
Transformar a função para resposta em frequência e escrever a expressão do módulo (valor absoluto).
Substituindo
temos
O módulo é produto/quotiente dos módulos dos fatores. Usando
e
, obtemos a expressão exata do módulo:
Converter para dB é só usar
. Assim a equação do módulo em dB é
Explicação didática (por que essa forma): cada fator do polinômio contribui ao logaritmo como soma/subtração de termos. O fator numérico
vira
. O zero na origem (
) vira
. Cada fator do tipo
vira
quando se toma
do módulo (porque
).
Passo 3
Equação da fase (argumento) e explicação.
O argumento (em graus) soma/subtrai os ângulos de cada fator:
-
(zero na origem), -
(em radianos; converteremos para graus multiplicando por ).
Logo a expressão exata da fase é
Didática: cada polo
subtrai
e cada zero
soma
. O termo
dá
em todas as frequências (ângulo do número imaginário puro).
Passo 4
Identificar frequências de quebra (corner frequencies) e contribuição de inclinações para o diagrama de módulo assintótico.
Fatores e suas frequências de quebra
:
- Zero na origem:
(contribui com uma inclinação constante de dB/dec desde baixas frequências). - Polo em
: rad/s. - Polo em
: rad/s. - Zero em
: rad/s.
Regra prática (construção das assíntotas):
- Cada zero simples adiciona
dB/década à inclinação a partir de sua . - Cada polo simples subtrai
dB/década a partir de sua . - Soma-se as contribuições em cada intervalo para obter a inclinação assintótica.
Inclinações por intervalo (assintótico):
- Para
: apenas o zero na origem atua → inclinação inicial dB/dec. - Para
: entra o polo em → inclinação passa a dB/dec (plano). - Para
: entra o polo em → inclinação passa a dB/dec. - Para
: entra o zero em → inclinação passa a dB/dec (plano novamente).
Então as mudanças de inclinação ocorrem nas frequências
(além do comportamento do zero na origem).
Passo 5
Calcular alguns valores numéricos de referência (magnitudes exatas em dB nos pontos de quebra) — isso ajuda a traçar as assíntotas corretamente.
Usaremos a fórmula do Passo 2 e calcularemos
em
. Mostrar contas:
Primeiro o termo constante:
Agora em
rad/s:
Somando/subtraindo:
Portanto em
:
Em
rad/s:
Somando:
Portanto em
:
Em
rad/s:
Somando:
Logo em
:
Comentário sobre esses números: note que entre
e
o valor é praticamente constante (
dB) porque a inclinação assintótica nesse intervalo é
dB/dec. Entre
e
a assíntota diz que deve cair
dB/dec; de
dB (em 200) a assíntota estimaria
dB em 2000, mas o valor exato calculado é
dB — discrepâncias típicas perto de quebras (devido às transições e efeito combinado de vários polos/zeros). Para desenho assintótico, usa-se as retas por segmentos; para pontos de referência marcamos os valores exatos calculados acima.
Passo 6
Construção assintótica da fase (regra prática) e valores aproximados em pontos-chave.
Regra prática para fase de um polo/zero de 1ª ordem: a fase faz uma transição de
a
ao longo de duas décadas centradas na frequência de quebra
(ou seja, começa a mudar aproximadamente em
, atinge
em
e termina em
). O zero na origem já fornece
constante.
Aplicando ao nosso caso:
- Zero na origem: +90° (constante).
- Polo em 2: contribui
entre e rad/s (meio da transição em dá aí). - Polo em 200: contribui
entre e rad/s (meio em ). - Zero em 2000: contribui
entre e rad/s (meio em ).
As fases assintóticas combinadas (valores aproximados por intervalo):
-
: só o zero na origem ativa → . -
: primeira transição; valor aproximado (usando expressão exata) é . -
: após o efeito do polo em 2 e já iniciando o polo em 200, valor exato . -
: meio da transição do zero em 2000, cálculo exato dá . -
: todas as transições concluídas: limite (porque somatório de fases dos polos e zeros finitos cancela o do zero na origem).
Exemplos de cálculo exato (já usado no passo 5 para alguns pontos):
- Em
:
- Em
:
- Em
:
Didática final para a fase assintótica: desenhe linhas retas que mudam linearmente (em deg por década) começando em
e terminando em
para cada polo/zero; some-as às fases das outras contribuições (incluindo o
fixo do zero na origem).
Passo 7
Instruções passo-a-passo para esboçar os diagramas de Bode (módulo e fase) a partir das assíntotas — para você usar na prova rapidamente:
- Marque no eixo logarítmico de frequência os pontos
(e opcionalmente para transições de fase). - Para o módulo:
- Comece em uma linha com inclinação
dB/dec para . Calque um ponto de referência exato em com valor dB (calculado). - Em
mude a inclinação para dB/dec (reta horizontal) até . Em marque o ponto dB. - Em
mude a inclinação para dB/dec até . A assíntota prevê descida; valor exato em é dB. - Em
mude a inclinação para dB/dec (reta horizontal) para frequências mais altas.
- Comece em uma linha com inclinação
- Para a fase:
- Coloque
para . - Entre
e inclinação aproximada é por década por conta do polo em 2 (fazendo a fase cair de em direção a parcial). Em a fase está por volta de . - Entre
e a fase sofre mais queda por causa do polo em 200 (outro ao longo de duas décadas). Em a fase está por volta de . - Entre
e também entra o zero em 2000 (que adiciona até ao longo de duas décadas), então a fase final vai subir lentamente do valor negativo em direção a para . Em a fase exata . - Para
a fase aproxima-se de .
- Coloque
- Marque os valores exatos calculados nos pontos de quebra (
) — isso dá referência e permite ajustar a reta assintótica para ficar coerente com o valor real.
Resposta
(a) Equação do módulo (em dB):
(b) Equação da fase (em graus):
Pontos de quebra e inclinações assintóticas (módulo):
- Quebras em
rad/s (além do zero na origem). - Inclinações por intervalo:
-
dB/dec (zero na origem). -
dB/dec (entrada do polo em 2 reduzindo para ). -
dB/dec (entrada do polo em 200). -
dB/dec (entrada do zero em 2000 compensa para voltar a ).
-
- Valores numéricos de referência (magnitudes exatas):
-
Pontos-chave da fase (valores aproximados/exatos):
Use esses dados e as inclinações para traçar as retas assintóticas do diagrama de Bode (módulo e fase). Boa sorte — respira fundo, marca as quebras no eixo log e vai desenhando segmento a segmento; se quiser eu desenho explicitamente os traços numerados passo a passo.