Demonstre usando a definição
de limites que
.
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar, usando a definição
de limite, que
Informações relevantes dadas:
Logo, precisamos mostrar formalmente que, para qualquer tolerância
em torno de
, existe uma tolerância
em torno de
tal que sempre que
temos
.
Passo 2
Vou escrever a definição
de limite de forma explícita (para eu e você seguirmos passo a passo):
Aqui
é a “tolerância vertical” que escolhemos ao redor do valor do limite
, e
é a “tolerância horizontal” que devemos encontrar ao redor de
. A tarefa é, dado um
arbitrário, construir um
que torne verdadeira a implicação acima.
Passo 3
Calculemos a diferença entre a função e o valor proposto do limite, para ver como
e
se relacionam:
Agora simplificamos essa expressão passo a passo.
Passo 4
Continuando a simplificação:
Fatorando:
Portanto a quantidade que queremos tornar menor que
é exatamente
.
Passo 5
Da igualdade acima vemos a relação direta entre
e
:
Isto sugere escolher
igual a
. Vamos tomar
Observe que se
então
, como exigido pela definição.
Passo 6
Agora fazemos a prova direta usando a escolha
. Tome um
arbitrário e defina
. Suponha que
satisfaça
. Então, usando a relação encontrada no Passo 4:
Assim a implicação da definição está satisfeita: sempre que
então
.
Passo 7
Concluímos, pelo que acabamos de mostrar, que para todo
existe
tal que
implica
. Isso é exatamente a demonstração
de que
Passo 8
Comentário final e um exemplo numérico para fixar a ideia: se escolhermos
, então
. Isso significa que qualquer
com
garante que
ficará dentro de
unidades de
. Note também que qualquer
menor que
também funcionaria — a escolha
é uma escolha simples e direta que prova o que precisa ser provado.