Demonstre usando a definição \epsilon, \delta de limites que \lim _{x \rightarrow 1} 3 x-9=-6.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar, usando a definição \epsilon,\delta de limite, que
\lim_{x\to 1} 3x-9 = -6.
Informações relevantes dadas:
\text{função: } f(x)=3x-9,\qquad\text{ponto de limite: } x\to 1,\qquad\text{valor proposto do limite: } -6.çã
Logo, precisamos mostrar formalmente que, para qualquer tolerância \epsilon>0 em torno de -6, existe uma tolerância \delta>0 em torno de 1 tal que sempre que 0<|x-1|<\delta temos |f(x)-(-6)|<\epsilon.

Passo 2

Vou escrever a definição \epsilon,\delta de limite de forma explícita (para eu e você seguirmos passo a passo):
\text{Queremos mostrar:}\quad \forall\,\epsilon>0\;\exists\,\delta>0\;\text{tal que}\;0<|x-1|<\delta\Rightarrow |f(x)-(-6)|<\epsilon.
Aqui \epsilon é a “tolerância vertical” que escolhemos ao redor do valor do limite -6, e \delta é a “tolerância horizontal” que devemos encontrar ao redor de x=1. A tarefa é, dado um \epsilon>0 arbitrário, construir um \delta>0 que torne verdadeira a implicação acima.

Passo 3

Calculemos a diferença entre a função e o valor proposto do limite, para ver como \epsilon e \delta se relacionam:
|f(x)-(-6)| = |3x-9 - (-6)|.
Agora simplificamos essa expressão passo a passo.

Passo 4

Continuando a simplificação:
|3x-9 - (-6)| = |3x-9+6| = |3x-3|.
Fatorando:
|3x-3| = 3|x-1|.
Portanto a quantidade que queremos tornar menor que \epsilon é exatamente 3|x-1|.

Passo 5

Da igualdade acima vemos a relação direta entre \epsilon e |x-1|:
3|x-1| < \epsilon \quad\Longleftrightarrow\quad |x-1| < \frac{\epsilon}{3}.
Isto sugere escolher \delta igual a \dfrac{\epsilon}{3}. Vamos tomar
\delta := \frac{\epsilon}{3}.
Observe que se \epsilon>0 então \delta>0, como exigido pela definição.

Passo 6

Agora fazemos a prova direta usando a escolha \delta=\dfrac{\epsilon}{3}. Tome um \epsilon>0 arbitrário e defina \delta=\dfrac{\epsilon}{3}. Suponha que x satisfaça 0<|x-1|<\delta. Então, usando a relação encontrada no Passo 4:
|f(x)-(-6)| = 3|x-1| < 3\delta = 3\cdot\frac{\epsilon}{3} = \epsilon.
Assim a implicação da definição está satisfeita: sempre que 0<|x-1|<\delta então |f(x)-(-6)|<\epsilon.

Passo 7

Concluímos, pelo que acabamos de mostrar, que para todo \epsilon>0 existe \delta=\dfrac{\epsilon}{3}>0 tal que 0<|x-1|<\delta implica |3x-9 - (-6)|<\epsilon. Isso é exatamente a demonstração \epsilon,\delta de que
\lim_{x\to 1} 3x-9 = -6.

Passo 8

Comentário final e um exemplo numérico para fixar a ideia: se escolhermos \epsilon=0{,}1, então \delta=\dfrac{0{,}1}{3}\approx 0{,}0333. Isso significa que qualquer x com 0<|x-1|<0{,}0333 garante que 3x-9 ficará dentro de 0{,}1 unidades de -6. Note também que qualquer \delta menor que \dfrac{\epsilon}{3} também funcionaria — a escolha \delta=\dfrac{\epsilon}{3} é uma escolha simples e direta que prova o que precisa ser provado.

Resposta

-6

Exercícios relacionados