Calcule o limite a seguir e justifique cada passagem.
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{1-x-x^{2}}{2 x^{2}-7}

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x tende para menos infinito:
\lim_{x\to -\infty} \frac{1 - x - x^{2}}{2x^{2} - 7}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{numerador} = 1 - x - x^{2},
\text{denominador} = 2x^{2} - 7.
Observações óbvias sobre as expressões acima (apenas listando dados, sem resolver ainda):
\deg(\text{numerador}) = 2,\quad \text{coeficiente líder do numerador} = -1,í
\deg(\text{denominador}) = 2,\quad \text{coeficiente líder do denominador} = 2.í
A pergunta concreta é: qual é o valor do limite acima?

Passo 2

Escolhemos trabalhar dividindo numerador e denominador pela maior potência de x presente nos polinômios, que é x^{2}. Isso é um procedimento padrão para limites de funções racionais quando x\to\pm\infty, porque assim ficam evidentes os termos que tendem a zero. Vou justificar cada passagem ao aplicar essa técnica.

Passo 3

Dividindo numerador e denominador por x^{2} (válido para x\neq 0; como estamos fazendo limite para x\to -\infty isso é permitido), obtemos:
\frac{1 - x - x^{2}}{2x^{2} - 7} = \frac{\dfrac{1}{x^{2}} - \dfrac{1}{x} - 1}{2 - \dfrac{7}{x^{2}}}.

Passo 4

Agora vamos analisar o comportamento dos termos que surgiram quando x\to -\infty.
  • Para o termo \dfrac{1}{x^{2}}: como x^{2} é sempre positivo e cresce sem limite quando |x|\to\infty, temos
0 \le \frac{1}{x^{2}} \le \frac{1}{M^{2}}
sempre que |x|\ge M. Tomando M\to\infty isso mostra que \dfrac{1}{x^{2}}\to 0. Em palavras: potências pares fazem o denominador crescer e o quociente ir a zero.
  • Para o termo \dfrac{1}{x}: como |x|\to\infty quando x\to -\infty, temos \dfrac{1}{x}\to 0 também (mais formalmente, para qualquer \varepsilon>0 basta escolher N>1/\varepsilon e para |x|>N ter |1/x|<\varepsilon). O sinal (negativo de x) não impede que o módulo tenda a zero; apenas faz 1/x aproximar-se de 0 vindo de valores negativos.
  • Para o termo \dfrac{7}{x^{2}}: mesma razão de \dfrac{1}{x^{2}} — tende a 0.
Portanto, tomando limites termo a termo,
\lim_{x\to -\infty} \frac{1}{x^{2}} = 0,\quad \lim_{x\to -\infty} \frac{1}{x} = 0,\quad \lim_{x\to -\infty} \frac{7}{x^{2}} = 0.

Passo 5

Substituindo esses limites na expressão que obtivemos no Passo 3, o numerador e o denominador têm limites bem definidos:
\lim_{x\to -\infty}\left(\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x} - 1\right) = 0 - 0 - 1 = -1,
\lim_{x\to -\infty}\left(2 - \frac{7}{x^{2}}\right) = 2 - 0 = 2.

Passo 6

Como o limite do denominador é \;2\neq 0\;, podemos usar a regra que diz: se
\lim_{x\to a} f(x)=L e \lim_{x\to a} g(x)=M com M\neq 0, então
\lim_{x\to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{L}{M}. Aplicando essa regra ao que obtivemos:
\lim_{x\to -\infty} \frac{\dfrac{1}{x^{2}} - \dfrac{1}{x} - 1}{2 - \dfrac{7}{x^{2}}} = \frac{-1}{2}.

Passo 7

Portanto o valor do limite pedido é -\tfrac{1}{2}. (Se quiser uma forma rápida de lembrar: para frações de polinômios com graus iguais, o limite no infinito é a razão dos coeficientes líderes; aqui -1 sobre 2.)

Resposta

-\frac{1}{2}

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