Calcule o limite a seguir e justifique cada passagem.
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
tende para menos infinito:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Observações óbvias sobre as expressões acima (apenas listando dados, sem resolver ainda):
A pergunta concreta é: qual é o valor do limite acima?
Passo 2
Escolhemos trabalhar dividindo numerador e denominador pela maior potência de
presente nos polinômios, que é
. Isso é um procedimento padrão para limites de funções racionais quando
, porque assim ficam evidentes os termos que tendem a zero. Vou justificar cada passagem ao aplicar essa técnica.
Passo 3
Dividindo numerador e denominador por
(válido para
; como estamos fazendo limite para
isso é permitido), obtemos:
Passo 4
Agora vamos analisar o comportamento dos termos que surgiram quando
.
- Para o termo
: como é sempre positivo e cresce sem limite quando , temos
sempre que
. Tomando
isso mostra que
. Em palavras: potências pares fazem o denominador crescer e o quociente ir a zero.
- Para o termo
: como quando , temos também (mais formalmente, para qualquer basta escolher e para ter ). O sinal (negativo de ) não impede que o módulo tenda a zero; apenas faz aproximar-se de vindo de valores negativos. - Para o termo
: mesma razão de — tende a .
Portanto, tomando limites termo a termo,
Passo 5
Substituindo esses limites na expressão que obtivemos no Passo 3, o numerador e o denominador têm limites bem definidos:
Passo 6
Como o limite do denominador é
, podemos usar a regra que diz: se
e
com
, então
. Aplicando essa regra ao que obtivemos:
Passo 7
Portanto o valor do limite pedido é
. (Se quiser uma forma rápida de lembrar: para frações de polinômios com graus iguais, o limite no infinito é a razão dos coeficientes líderes; aqui
sobre
.)