Deriva a função
Passo 1
O enunciado pede para derivar a função
Pergunta que vamos responder: encontrar
, a derivada de
em função de
.
Informações dadas: o numerador é e o denominador é
.
Informações dadas: o numerador é
Passo 2
Vamos recordar a regra que vamos usar (aqui explico como se faz passo a passo, como se estivéssemos na prova).
A regra do quociente diz que, para funções e
com
, a derivada de
é
A regra do quociente diz que, para funções
Nessa fórmula:
-
é o numerador; -
é o denominador; -
é a derivada de ; -
é a derivada de ; - o numerador da direita é a diferença
e o denominador é (ou seja, ao quadrado).
Também precisamos saber duas derivadas básicas:
- A derivada de
é . Ou seja, deriva para ele mesmo. - A derivada de
é .
Passo 3
Identificamos
e
para aplicar a regra do quociente:
Agora calculamos
e
usando as derivadas básicas:
Passo 4
Aplicamos a regra do quociente substituindo
,
,
e
na fórmula
Substituindo:
Passo 5
Fatoramos
no numerador para simplificar (porque aparece em ambos os termos):
Reorganizando o polinômio dentro dos parênteses em ordem decrescente de potências de
:
Portanto a forma mais limpa da derivada é
Observação didática rápida:
não tem raízes reais fáceis e não simplifica com o denominador, então essa é a forma final simplificada.
Passo 6
Resumo do raciocínio para você poder reproduzir na prova sem medo:
- Identifique numerador
e denominador . - Calcule
e (aqui continua e vira ). - Aplique a regra do quociente
. - Fatore termos comuns (aqui
) e simplifique o que for possível.
Você consegue. Respira fundo e repete esse procedimento em outras frações parecidas — vira rotina rapidinho!