Deriva a função
f(x)=\frac{e^{x}}{3+x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função
f(x)=\frac{e^{x}}{3+x^{2}}.
Pergunta que vamos responder: encontrar f'(x), a derivada de f em função de x.
Informações dadas: o numerador é e^{x} e o denominador é 3+x^{2}.

Passo 2

Vamos recordar a regra que vamos usar (aqui explico como se faz passo a passo, como se estivéssemos na prova).
A regra do quociente diz que, para funções \,u(x)\, e \,v(x)\, com v(x)\neq0, a derivada de \dfrac{u(x)}{v(x)} é
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Nessa fórmula:
  • u(x) é o numerador;
  • v(x) é o denominador;
  • u'(x) é a derivada de u;
  • v'(x) é a derivada de v;
  • o numerador da direita é a diferença u'v-uv' e o denominador é v^{2} (ou seja, v(x) ao quadrado).
Também precisamos saber duas derivadas básicas:
  • A derivada de e^{x} é \, (e^{x})' = e^{x}. Ou seja, e^{x} deriva para ele mesmo.
  • A derivada de x^{2} é \, (x^{2})' = 2x.

Passo 3

Identificamos u e v para aplicar a regra do quociente:
u(x)=e^{x},\qquad v(x)=3+x^{2}.
Agora calculamos u' e v' usando as derivadas básicas:
u'(x)=(e^{x})' = e^{x},
v'(x)=(3+x^{2})' = 0 + (x^{2})' = 2x.

Passo 4

Aplicamos a regra do quociente substituindo u, v, u' e v' na fórmula
f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Substituindo:
f'(x)=\frac{e^{x}(3+x^{2}) - e^{x}\cdot 2x}{(3+x^{2})^{2}}.

Passo 5

Fatoramos e^{x} no numerador para simplificar (porque aparece em ambos os termos):
f'(x)=\frac{e^{x}\bigl(3+x^{2} - 2x\bigr)}{(3+x^{2})^{2}}.
Reorganizando o polinômio dentro dos parênteses em ordem decrescente de potências de x:
3+x^{2}-2x = x^{2}-2x+3.
Portanto a forma mais limpa da derivada é
f'(x)=\frac{e^{x}\bigl(x^{2}-2x+3\bigr)}{(3+x^{2})^{2}}.
Observação didática rápida: x^{2}-2x+3 não tem raízes reais fáceis e não simplifica com o denominador, então essa é a forma final simplificada.

Passo 6

Resumo do raciocínio para você poder reproduzir na prova sem medo:
  • Identifique numerador u e denominador v.
  • Calcule u' e v' (aqui e^{x} continua e^{x} e x^{2} vira 2x).
  • Aplique a regra do quociente \dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}.
  • Fatore termos comuns (aqui e^{x}) e simplifique o que for possível.
Você consegue. Respira fundo e repete esse procedimento em outras frações parecidas — vira rotina rapidinho!

Resposta

f'(x)=\frac{e^{x}\bigl(x^{2}-2x+3\bigr)}{(3+x^{2})^{2}}

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