Demonstre, usando a definição formal de limite:
\lim _{x \rightarrow-2} 3 x+8=2;

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar, usando a definição formal (épsilon–delta) do limite, que
\lim_{x\rightarrow -2} 3x+8 = 2.
Informações dadas:
\text{função } f(x)=3x+8,\quad \text{ponto } a=-2,\quad \text{valor candidato do limite } L=2.çã
O objetivo é mostrar que, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-(-2)|<\delta, então |f(x)-2|<\varepsilon.

Passo 2

Vou lembrar a definição formal de limite e explicar cada parte:
\text{Definição: } \lim_{x\to a} f(x)=L \text{ significa que } \forall \varepsilon>0\\ \exists \delta>0\\ \text{tal que}\\\ 0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon.çã
Explicando as variáveis:
  • \varepsilon>0 é qualquer margem de erro que escolherem para o valor de f(x) em relação a L;
  • \delta>0 é a margem em x (distância até a) que vamos escolher em função de \varepsilon;
  • a implicação garante que, se x estiver dentro de \delta de a (mas não igual a a), então f(x) estará dentro de \varepsilon de L.

Passo 3

Calculo a diferença entre f(x) e L e simplifico:
|f(x)-L| = |3x+8-2| = |3x+6|.
Fatorando 3:
|3x+6| = |3(x+2)| = |3|\cdot|x+2| = 3|x+2|.
Aqui usei a propriedade do valor absoluto |ab|=|a||b| e que |3|=3.

Passo 4

Queremos garantir |f(x)-L|<\varepsilon. Usando a expressão anterior isso fica
3|x+2| < \varepsilon.
Dividindo ambos os lados por 3 (positivo), obtemos
|x+2| < \frac{\varepsilon}{3}.
Portanto, se assegurarmos que |x+2|<\varepsilon/3, então automaticamente |f(x)-L|<\varepsilon.

Passo 5

Escolha de \delta: para cada \varepsilon>0 definimos
\delta := \frac{\varepsilon}{3}.
Observações: \delta>0 porque \varepsilon>0. Agora verificamos a implicação da definição: suponha 0<|x-(-2)|=|x+2|<\delta. Então
|f(x)-2| = 3|x+2| < 3\delta = 3\cdot\frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon.
Assim a condição da definição é satisfeita.

Passo 6

Conclusão formal: como a escolha \delta=\varepsilon/3 funciona para todo \varepsilon>0, pelos critérios da definição épsilon–delta temos
\lim_{x\rightarrow -2} 3x+8 = 2.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\rightarrow -2} 3x+8 = 2

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