Demonstre, usando a definição formal de limite:
;
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar, usando a definição formal (épsilon–delta) do limite, que
Informações dadas:
O objetivo é mostrar que, para todo
, existe
tal que, sempre que
, então
.
Passo 2
Vou lembrar a definição formal de limite e explicar cada parte:
Explicando as variáveis:
-
é qualquer margem de erro que escolherem para o valor de em relação a ; -
é a margem em (distância até ) que vamos escolher em função de ; - a implicação garante que, se
estiver dentro de de (mas não igual a ), então estará dentro de de .
Passo 3
Calculo a diferença entre
e
e simplifico:
Fatorando
:
Aqui usei a propriedade do valor absoluto
e que
.
Passo 4
Queremos garantir
. Usando a expressão anterior isso fica
Dividindo ambos os lados por
(positivo), obtemos
Portanto, se assegurarmos que
, então automaticamente
.
Passo 5
Escolha de
: para cada
definimos
Observações:
porque
. Agora verificamos a implicação da definição: suponha
. Então
Assim a condição da definição é satisfeita.
Passo 6
Conclusão formal: como a escolha
funciona para todo
, pelos critérios da definição épsilon–delta temos