Determine a ordem da seguinte equação diferencial.
e^{y^{\prime \prime \prime}}+x y^{\prime \prime}+y=0.

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
e^{y'''} + x\,y'' + y = 0
e pede para determinar a ordem dessa equação. As informações relevantes são:
  • A equação envolve as funções y, y'' (segunda derivada de y) e y''' (terceira derivada de y).
  • Não há outras condições ou incógnitas no enunciado.
    A única pergunta é: qual é a ordem dessa equação diferencial?

Passo 2

Definição (a coisa mais importante a saber): a ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivação que aparece na equação. Em outras palavras, se a maior derivada presente é a n-ésima derivada y^{(n)}, dizemos que a equação é de ordem n.
Explicando devagar: quando escrevo y quero dizer a função incógnita; y' é a derivada primeira de y em relação a x; y'' é a derivada segunda; y^{(3)} ou y''' é a derivada terceira. A ordem não depende de como essas derivadas aparecem (lineares, dentro de funções não-lineares, multiplicadas por x, etc.), apenas do maior índice de derivada presente.

Passo 3

Aplicando a definição ao caso concreto: identificar todas as derivadas que aparecem na equação
e^{y'''} + x\,y'' + y = 0.
Aqui aparecem:
  • y (derivada de ordem 0),
  • y'' (derivada de ordem 2),
  • y''' (derivada de ordem 3).
Portanto o maior índice de derivada presente é 3, vindo de y'''.

Passo 4

Esclarecimento sobre possíveis dúvidas: alguém pode pensar que a presença de y''' dentro do exponencial e^{y'''} poderia alterar a ordem. Não altera. Mesmo que você desenvolvesse e^{y'''} como série de potências, todos os termos envolveriam apenas y''' (e potências de y'''), isto é, nenhuma derivada de ordem maior que 3 surgiria. A ordem é decidida pela maior derivada que aparece explicitamente na equação, independentemente de funções compostas ou não lineares envolvendo essa derivada.
Um exemplo paralelo para fixar: a equação \, \sin(y') + y = 0\, tem ordem 1 porque a maior derivada que aparece é y', mesmo que esteja dentro de \sin(\cdot).

Passo 5

Conclusão direta: a maior derivada presente em
e^{y'''} + x\,y'' + y = 0
é y''', de ordem 3. Logo a equação é de ordem 3.

Resposta

3

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