Determine a ordem da seguinte equação diferencial.
.
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial
e pede para determinar a ordem dessa equação. As informações relevantes são:
- A equação envolve as funções
, (segunda derivada de ) e (terceira derivada de ). - Não há outras condições ou incógnitas no enunciado.
A única pergunta é: qual é a ordem dessa equação diferencial?
Passo 2
Definição (a coisa mais importante a saber): a ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivação que aparece na equação. Em outras palavras, se a maior derivada presente é a
-ésima derivada
, dizemos que a equação é de ordem
.
Explicando devagar: quando escrevo
quero dizer a função incógnita;
é a derivada primeira de
em relação a
;
é a derivada segunda;
ou
é a derivada terceira. A ordem não depende de como essas derivadas aparecem (lineares, dentro de funções não-lineares, multiplicadas por
, etc.), apenas do maior índice de derivada presente.
Passo 3
Aplicando a definição ao caso concreto: identificar todas as derivadas que aparecem na equação
Aqui aparecem:
-
(derivada de ordem ), -
(derivada de ordem ), -
(derivada de ordem ).
Portanto o maior índice de derivada presente é
, vindo de
.
Passo 4
Esclarecimento sobre possíveis dúvidas: alguém pode pensar que a presença de
dentro do exponencial
poderia alterar a ordem. Não altera. Mesmo que você desenvolvesse
como série de potências, todos os termos envolveriam apenas
(e potências de
), isto é, nenhuma derivada de ordem maior que
surgiria. A ordem é decidida pela maior derivada que aparece explicitamente na equação, independentemente de funções compostas ou não lineares envolvendo essa derivada.
Um exemplo paralelo para fixar: a equação
tem ordem
porque a maior derivada que aparece é
, mesmo que esteja dentro de
.
Passo 5
Conclusão direta: a maior derivada presente em
é
, de ordem
. Logo a equação é de ordem
.