Resolver
(Resp. Use fator integrante.
.)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
- A equação está na forma
. - Temos
e . - O exercício indica: usar fator integrante (ou seja, multiplicar por uma função que torne a equação exata).
- Objetivo: encontrar a solução implícita
constante.
Passo 2
Primeiro conceito importante (passo a passo, sem pressa): quando uma equação tem a forma
ela é chamada de exata se existe uma função
tal que
Um teste prático para exatidão é verificar se
Se a igualdade vale, a equação é exata e a solução é
. Se não vale, às vezes conseguimos achar um fator \emph{integrante}
ou
que, multiplicando a equação, a torna exata.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais para ver se a equação original é exata.
Identificamos
Agora as derivadas parciais:
Comparando,
portanto a equação original não é exata.
Passo 4
Vamos buscar um fator integrante que dependa só de
,
. A condição que
deve satisfazer vem de tornar exata a equação
. Derivando e igualando dá
Calculemos o lado direito usando os resultados do passo anterior:
Então
Isso depende apenas de
, ótimo — indica que existe um
função de
só. Agora resolvemos
Integrando ambos os lados:
Podemos escolher a constante multiplicativa de
igual a
(essa constante não altera a família de soluções), então tomamos
Passo 5
Multiplicamos a equação original por
. Ficamos com
Simplificando:
Chamemos agora
Verifiquemos exatidão:
logo são iguais e a equação é exata agora. Bom trabalho — o fator integrante funcionou!
Passo 6
Como é exata, existe
tal que
Integramos
em relação a
, tratando
como constante:
Calculando cada integral:
Portanto, até uma função arbitrária de
,
onde
é função que aparece porque ao integrar em
tratamos
como constante.
Agora impomos a segunda condição:
Calculemos
:
Igualando a
:
Logo
é constante, que absorvemos na constante final da solução.
Portanto a função potencial é
Passo 7
Podemos multiplicar a expressão acima por
para eliminar denominadores e obter uma forma mais bonita (isso apenas reescalona a constante
):
onde
é uma constante arbitrária. Essa é exatamente a forma pedida na resposta do enunciado. Respira fundo — chegamos lá!