Resolver
\left(x^{2}+y^{2}+x\right) d x+x y d y=0
(Resp. Use fator integrante. 3 x^{4}+4 x^{3}+ 6 x^{2} y^{2}=C.)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\left(x^{2}+y^{2}+x\right)\,dx + x y\,dy = 0.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • A equação está na forma M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0.
  • Temos M(x,y)=x^{2}+y^{2}+x e N(x,y)=x y.
  • O exercício indica: usar fator integrante (ou seja, multiplicar por uma função que torne a equação exata).
  • Objetivo: encontrar a solução implícita F(x,y)= constante.

Passo 2

Primeiro conceito importante (passo a passo, sem pressa): quando uma equação tem a forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0,
ela é chamada de exata se existe uma função \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M\quad\text{e}\quad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N.
Um teste prático para exatidão é verificar se
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Se a igualdade vale, a equação é exata e a solução é \Phi(x,y)=C. Se não vale, às vezes conseguimos achar um fator \emph{integrante} \mu(x) ou \mu(y) que, multiplicando a equação, a torna exata.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais para ver se a equação original é exata.
Identificamos
M(x,y)=x^{2}+y^{2}+x,\qquad N(x,y)=x y.
Agora as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=2y,
\frac{\partial N}{\partial x}=y.
Comparando,
\frac{\partial M}{\partial y}=2y\neq y=\frac{\partial N}{\partial x},
portanto a equação original não é exata.

Passo 4

Vamos buscar um fator integrante que dependa só de x, \mu(x). A condição que \mu(x) deve satisfazer vem de tornar exata a equação \mu M\,dx + \mu N\,dy = 0. Derivando e igualando dá
\frac{\mu'(x)}{\mu(x)}=\frac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x}{N}.
Calculemos o lado direito usando os resultados do passo anterior:
\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}=2y-y=y.
Então
\frac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x}{N}=\frac{y}{x y}=\frac{1}{x}.
Isso depende apenas de x, ótimo — indica que existe um \mu função de x só. Agora resolvemos
\frac{\mu'(x)}{\mu(x)}=\frac{1}{x}.
Integrando ambos os lados:
\ln \mu(x)=\int \frac{1}{x}\,dx=\ln x + C.
Podemos escolher a constante multiplicativa de \mu igual a 1 (essa constante não altera a família de soluções), então tomamos
\mu(x)=x.

Passo 5

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=x. Ficamos com
x\bigl(x^{2}+y^{2}+x\bigr)\,dx + x\cdot x y\,dy = 0.
Simplificando:
\bigl(x^{3}+x^{2}+x y^{2}\bigr)\,dx + x^{2}y\,dy = 0.
Chamemos agora
\widetilde{M}(x,y)=x^{3}+x^{2}+x y^{2},\qquad \widetilde{N}(x,y)=x^{2}y.
Verifiquemos exatidão:
\frac{\partial \widetilde{M}}{\partial y}=2x y,\qquad \frac{\partial \widetilde{N}}{\partial x}=2x y,
logo são iguais e a equação é exata agora. Bom trabalho — o fator integrante funcionou!

Passo 6

Como é exata, existe \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=\widetilde{M}=x^{3}+x^{2}+x y^{2}.
Integramos \widetilde{M} em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y)=\int\bigl(x^{3}+x^{2}+x y^{2}\bigr)\,dx = \int x^{3}\,dx + \int x^{2}\,dx + \int x y^{2}\,dx.
Calculando cada integral:
\int x^{3}\,dx=\frac{x^{4}}{4},\qquad \int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3},\qquad \int x y^{2}\,dx=\frac{x^{2}}{2}\,y^{2}.
Portanto, até uma função arbitrária de y,
\Phi(x,y)=\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}y^{2}}{2}+h(y),
onde h(y) é função que aparece porque ao integrar em x tratamos y como constante.
Agora impomos a segunda condição:
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=\widetilde{N}=x^{2}y.
Calculemos \partial \Phi/\partial y:
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}y^{2}}{2}+h(y)\right)= x^{2}y + h'(y).
Igualando a \widetilde{N}:
x^{2}y + h'(y)=x^{2}y \quad\Rightarrow\quad h'(y)=0.
Logo h(y) é constante, que absorvemos na constante final da solução.
Portanto a função potencial é
\Phi(x,y)=\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}y^{2}}{2}=C.

Passo 7

Podemos multiplicar a expressão acima por 12 para eliminar denominadores e obter uma forma mais bonita (isso apenas reescalona a constante C):
12\Phi(x,y)=3x^{4}+4x^{3}+6x^{2}y^{2}=C',
onde C'=12C é uma constante arbitrária. Essa é exatamente a forma pedida na resposta do enunciado. Respira fundo — chegamos lá!

Resposta

3 x^{4}+4 x^{3}+6 x^{2} y^{2}=C

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