- Demonstre, usando a Definição 9, que
.
- Use a Definição 9 para demonstrar que
.
Passo 1
O enunciado pede duas demonstrações formais usando a Definição 9.
Perguntas:
- Mostrar que
. - Mostrar que
.
Informações dadas:
- A função a analisar no primeiro item é
. - A função a analisar no segundo item é
. - Usar a Definição 9 (a definição formal de limite que tende a infinito) para cada caso.
Passo 2
Vou escrever explicitamente a Definição 9 que vamos usar (de modo claro e com nomes de variáveis explicados).
Definição 9 (forma precisa de
):
significa que
Explicação das letras:
-
é um número positivo arbitrário que representa o quão grande queremos que seja. -
é um número real que depende de ; para valores de maiores que , a função fica maior que .
A estratégia geral: dado umarbitrário, construir explicitamente um (em termos de ) que garanta sempre que . Isso prova o limite infinito pela definição.
Passo 3
Demonstrando
.
Seja
arbitrário. Queremos produzir um
tal que, para todo
, valha
.
Escolha
Observações:
- Como
, é bem definido e é um número real. - Agora verificamos a condição da definição. Suponha
. Então . Calculamos a diferença
Aqui
(soma de quadrados e produtos entre reais), então o produto
é estritamente positivo, logo
. Portanto
Mas
. Assim para todo
temos
.
Concluímos que, dado qualquer
, existe
tal que
implica
. Pela Definição 9, isso prova que
Passo 4
Comentário didático curto sobre por que a escolha funcionou (dica para prova em prova): a função
é estritamente crescente em
; portanto comparar
com
é natural. A identidade da diferença de cubos
é a ferramenta algébrica que permite formalizar a monotonicidade sem recorrer apenas a derivadas.
Passo 5
Demonstrando
.
Seja
arbitrário. Usaremos que a função exponencial
é estritamente crescente e que a função logaritmo natural
é sua inversa, com a propriedade
para todo
.
Escolha
Observações:
- A escolha é válida porque
está bem definido para todo . - Se
então, como é crescente, segue . - Mas
. Portanto, sempre que obtemos .
Assim, dado qualquer
, existe
tal que
implica
. Pela Definição 9, isto demonstra que
Passo 6
Comentário didático sobre a escolha
: essa é uma técnica padrão para funções que possuem inversa monotônica. Para provar que
quando
, se
é crescente e tem inversa
, basta escolher
. No caso
, tem-se
, daí a escolha imediata
. Note também que essa escolha funciona mesmo quando
(nesse caso
), pois a definição exige apenas encontrar algum
real.