1. Demonstre, usando a Definição 9, que \lim _{x \rightarrow \infty} x^{3}=\infty.
  2. Use a Definição 9 para demonstrar que \lim _{x \rightarrow \infty} e^{x}=\infty.

Passo 1

O enunciado pede duas demonstrações formais usando a Definição 9.
Perguntas:
  • Mostrar que \lim_{x\rightarrow\infty} x^{3}=\infty.
  • Mostrar que \lim_{x\rightarrow\infty} e^{x}=\infty.
Informações dadas:
  • A função a analisar no primeiro item é x\mapsto x^{3}.
  • A função a analisar no segundo item é x\mapsto e^{x}.
  • Usar a Definição 9 (a definição formal de limite que tende a infinito) para cada caso.

Passo 2

Vou escrever explicitamente a Definição 9 que vamos usar (de modo claro e com nomes de variáveis explicados).
Definição 9 (forma precisa de \lim_{x\to\infty} f(x)=\infty):
\lim_{x\to\infty} f(x)=\infty
significa que
\text{para todo }M>0\\ \text{existe }R\in\mathbb{R}\\ \text{tal que, sempre que }x>R,\\ \text{temos }f(x)>M.
Explicação das letras:
  • M é um número positivo arbitrário que representa o quão grande queremos que f(x) seja.
  • R é um número real que depende de M; para valores de x maiores que R, a função f(x) fica maior que M.
    A estratégia geral: dado um M>0 arbitrário, construir explicitamente um R (em termos de M) que garanta f(x)>M sempre que x>R. Isso prova o limite infinito pela definição.

Passo 3

Demonstrando \lim_{x\rightarrow\infty} x^{3}=\infty.
Seja M>0 arbitrário. Queremos produzir um R tal que, para todo x>R, valha x^{3}>M.
Escolha
R=\sqrt[3]{M}.
Observações:
  • Como M>0, \sqrt[3]{M} é bem definido e é um número real.
  • Agora verificamos a condição da definição. Suponha x>R. Então x-R>0. Calculamos a diferença
x^{3}-R^{3}=(x-R)(x^{2}+xR+R^{2}).
Aqui x^{2}+xR+R^{2}>0 (soma de quadrados e produtos entre reais), então o produto (x-R)(x^{2}+xR+R^{2}) é estritamente positivo, logo x^{3}-R^{3}>0. Portanto
x^{3}>R^{3}.
Mas R^{3}=(\sqrt[3]{M})^{3}=M. Assim para todo x>R temos x^{3}>M.
Concluímos que, dado qualquer M>0, existe R=\sqrt[3]{M} tal que x>R implica x^{3}>M. Pela Definição 9, isso prova que
\lim_{x\to\infty} x^{3}=\infty.

Passo 4

Comentário didático curto sobre por que a escolha funcionou (dica para prova em prova): a função x\mapsto x^{3} é estritamente crescente em \mathbb{R}; portanto comparar x com \sqrt[3]{M} é natural. A identidade da diferença de cubos
a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})
é a ferramenta algébrica que permite formalizar a monotonicidade sem recorrer apenas a derivadas.

Passo 5

Demonstrando \lim_{x\rightarrow\infty} e^{x}=\infty.
Seja M>0 arbitrário. Usaremos que a função exponencial x\mapsto e^{x} é estritamente crescente e que a função logaritmo natural \ln é sua inversa, com a propriedade e^{\ln y}=y para todo y>0.
Escolha
R=\ln M.
Observações:
  • A escolha é válida porque \ln M está bem definido para todo M>0.
  • Se x>R então, como e^{x} é crescente, segue e^{x}>e^{R}.
  • Mas e^{R}=e^{\ln M}=M. Portanto, sempre que x>R obtemos e^{x}>M.
Assim, dado qualquer M>0, existe R=\ln M tal que x>R implica e^{x}>M. Pela Definição 9, isto demonstra que
\lim_{x\to\infty} e^{x}=\infty.

Passo 6

Comentário didático sobre a escolha R=\ln M: essa é uma técnica padrão para funções que possuem inversa monotônica. Para provar que f(x)\to\infty quando x\to\infty, se f é crescente e tem inversa f^{-1}, basta escolher R=f^{-1}(M). No caso f(x)=e^{x}, tem-se f^{-1}=\ln, daí a escolha imediata R=\ln M. Note também que essa escolha funciona mesmo quando M\le 1 (nesse caso \ln M\le 0), pois a definição exige apenas encontrar algum R real.

Resposta

\lim_{x\rightarrow\infty} x^{3}=\infty
\lim_{x\rightarrow\infty} e^{x}=\infty

Exercícios relacionados