a) Prove, por indução, que
para todo inteiro positivo
.
b) Use a) para provar que
vale também para os inteiros negativos
.
b) Use a) para provar que
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações temos:
- Pedem que se prove, por indução, que
para todo inteiro positivo . - Em seguida, usando o resultado da primeira parte, pedem que se prove que a mesma fórmula vale também para inteiros negativos
. - Importante: para expoentes negativos, a função
está definida apenas para . Portanto, quando tratar de a dedução será feita para . - Vamos usar a definição de derivada pela diferença quociente e propriedades básicas de derivadas (que serão provadas/explicadas quando necessárias).
Passo 2
Definição de derivada e prova da regra do produto (a ferramenta que vamos precisar).
- Definição de derivada de uma função complexa
no ponto : sempre que esse limite existir. - Regra do produto: se
e são diferenciáveis em então é diferenciável em e vale
Prova da regra do produto (usando a definição): escrevemos a diferença quociente de
:
Agora manipulamos adicionando e subtraindo
:
Reescrevendo cada termo isolando os quocientes que convergem pela diferenciabilidade:
Tomando limite
, como
e os quocientes tendem a
e
respectivamente, obtemos
o que prova a regra do produto. (Nota: a ordem dos termos não importa pois são números complexos.)
Passo 3
Base da indução (caso
).
- A função
tem derivada igual a . Pelo cálculo direto com a definição:
e portanto
. Logo
.
- Assim a fórmula é verdadeira para
.
Passo 4
Passo indutivo: se
para algum
, então
.
- Escrevemos
. - Aplicando a regra do produto (provada no Passo 2):
- Usamos
(Passo 3) e a hipótese indutiva . Substituindo:
- Isso conclui o passo indutivo. Por indução, a fórmula
vale para todo inteiro positivo e para todo .
Passo 5
Extensão para inteiros negativos usando o resultado de a).
- Seja
um inteiro negativo; escreva com . - Para
vale a identidade . - Diferenciando ambos os lados (produto) em um ponto
obtemos:
- Pela regra do produto:
- Usamos o resultado da parte (a) para
. Substituindo:
- Simplificando o primeiro termo:
. Assim
- Isolando
:
- Como
, temos . Portanto
para todo inteiro negativo
, válido para
.
Passo 6
Observações finais e exemplo rápido de checagem:
- Para
a fórmula dá , que segue do produto e do cálculo acima. - Para
a fórmula dá , isto é, , que é o caso clássico conhecido. - Em resumo: a demonstração para positivos veio por indução usando a regra do produto; a extensão para negativos usou a identidade
e diferenciou ambos os lados.
Resposta
a)
para todo inteiro positivo
e todo
.\n
b) para todo inteiro negativo
e todo
.
b)