Sendo
, proye que
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado:
- Está dado que
. - Pede-se provar que a derivada de
em relação a é .
Passo 2
Usar a definição de derivada de uma função em um ponto. Se
é uma função, a derivada de
em
é
sempre que esse limite existir. Aqui tomamos
e calculamos o quociente incremental.
Passo 3
Escrevendo o quociente incremental para
:
Colocando o numerador sobre um denominador comum:
Logo o quociente incremental fica
Observação: durante o cálculo do quociente usamos
(o limite considera
tendendo a zero, não
), então a simplificação pela fator
é válida.
Passo 4
Agora tomamos limite quando
:
Como a função
é contínua e
, podemos substituir
no denominador do limite, obtendo
Passo 5
Comentário rápido sobre outro caminho (útil na prova): escrever
e aplicar a regra da potência
(válida para
quando
), que fornece diretamente
. Ambos os métodos dão o mesmo resultado.