Sendo z \neq 0, proye que
\left(\frac{1}{z}\right)^{\prime}=\frac{-1}{z^{2}} .

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Está dado que z \neq 0.
  • Pede-se provar que a derivada de \dfrac{1}{z} em relação a z é \dfrac{-1}{z^{2}}.

Passo 2

Usar a definição de derivada de uma função em um ponto. Se f é uma função, a derivada de f em z é
f'(z)=\lim_{h\to 0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h},
sempre que esse limite existir. Aqui tomamos f(z)=\dfrac{1}{z} e calculamos o quociente incremental.

Passo 3

Escrevendo o quociente incremental para f(z)=\dfrac{1}{z}:
\frac{f(z+h)-f(z)}{h}=\frac{\dfrac{1}{z+h}-\dfrac{1}{z}}{h}.
Colocando o numerador sobre um denominador comum:
\dfrac{1}{z+h}-\dfrac{1}{z}=\dfrac{z-(z+h)}{z(z+h)}=\dfrac{-h}{z(z+h)}.
Logo o quociente incremental fica
\frac{f(z+h)-f(z)}{h}=\frac{-h}{z(z+h)}\cdot\frac{1}{h}=\frac{-1}{z(z+h)}.
Observação: durante o cálculo do quociente usamos h\neq 0 (o limite considera h tendendo a zero, não h=0), então a simplificação pela fator h é válida.

Passo 4

Agora tomamos limite quando h\to 0:
f'(z)=\lim_{h\to 0}\frac{-1}{z(z+h)}.
Como a função h\mapsto z(z+h) é contínua e z\neq 0, podemos substituir h=0 no denominador do limite, obtendo
f'(z)=\frac{-1}{z\cdot z}=\frac{-1}{z^{2}}.

Passo 5

Comentário rápido sobre outro caminho (útil na prova): escrever \dfrac{1}{z}=z^{-1} e aplicar a regra da potência \dfrac{d}{dz}z^{n}=n z^{n-1} (válida para n=-1 quando z\neq 0), que fornece diretamente \dfrac{d}{dz}z^{-1}=-1\cdot z^{-2}=\dfrac{-1}{z^{2}}. Ambos os métodos dão o mesmo resultado.

Resposta

\left(\frac{1}{z}\right)^{\prime}=\frac{-1}{z^{2}}

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