Demonstre, usando indução, que os resultados a seguir valem.
(a)
, para todo inteiro
.
(a)
Passo 1
O enunciado pede que se demonstre, usando indução, a identidade
para todo inteiro
e com
.
Informações fornecidas e o que é exigido:
- A expressão que devemos provar é uma igualdade envolvendo potências de
e . - A prova deve ser por indução matemática sobre o inteiro
. - Dados:
é inteiro com e . - Objetivo: mostrar que a igualdade vale para todo
.
Passo 2
Breve lembrete do princípio da indução (explicado com calma):
- Para provar uma afirmação
para todo inteiro por indução, seguem-se duas etapas: - Base da indução: verificar que
é verdadeira. - Passo indutivo: assumir que
é verdadeira para um fixo (essa suposição chama-se hipótese de indução) e, com isso, provar que também é verdadeira.
- Base da indução: verificar que
- Se essas duas etapas forem feitas corretamente, então
vale para todo inteiro .
Vou aplicar exatamente esse esquema à igualdade pedida.
Passo 3
Base da indução (
). Aqui verificamos diretamente a identidade para
.
Calcule o lado esquerdo:
Calcule o lado direito: para
a soma
tem exatamente um termo, que é
. Então
Como ambos os lados são iguais, a identidade é verdadeira para
. Base verificada.
Passo 4
Hipótese de indução. Suponha que para algum
a afirmação seja verdadeira, isto é, suponha
Esta é a hipótese de indução que vamos usar para provar o caso
.
Passo 5
Passo indutivo: provar a identidade para
.
Começamos com o lado esquerdo para
:
Reescreve-se como
Agora fazemos uma decomposição conveniente (adicionar e subtrair o mesmo termo) para poder colocar a hipótese de indução:
Agrupando:
Agora aplicamos a hipótese de indução à diferença
. Substituindo a hipótese:
Portanto
Agora simplificamos a expressão dentro dos colchetes. Multiplicando
pela soma, obtemos os termos
Somando o termo
no final, a sequência de termos fica
Isto é precisamente a soma com
termos correspondente ao caso
. Logo
Assim demonstramos que, sob a hipótese de que a identidade vale para
, ela vale também para
.
Passo 6
Conclusão por indução. Como a identidade foi verificada para
(base) e mostramos que a validade para
implica validade para
(passo indutivo), pelo princípio da indução matemática a identidade é verdadeira para todo inteiro
. Observação: o enunciado exige
, porque se
ambos os lados valem
(a identidade continua válida), mas o fator
seria zero — a restrição é apenas para evitar divisão por zero em contextos relacionados; a prova por indução acima funciona independentemente, respeitando o enunciado.