Demonstre, usando indução, que os resultados a seguir valem.
(a) a^{n}-b^{n}=(a-b)\left(a^{n-1}+a^{n-2} b+\cdots+a b^{n-2}+b^{n-1}\right), para todo inteiro n \geq 1 \mathrm{e} a \neq b.

Passo 1

O enunciado pede que se demonstre, usando indução, a identidade
a^{n}-b^{n}=(a-b)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1}\right)
para todo inteiro n\ge 1 e com a\neq b.
Informações fornecidas e o que é exigido:
  • A expressão que devemos provar é uma igualdade envolvendo potências de a e b.
  • A prova deve ser por indução matemática sobre o inteiro n.
  • Dados: n é inteiro com n\ge 1 e a\neq b.
  • Objetivo: mostrar que a igualdade vale para todo n\ge 1.

Passo 2

Breve lembrete do princípio da indução (explicado com calma):
  • Para provar uma afirmação P(n) para todo inteiro n\ge 1 por indução, seguem-se duas etapas:
    1. Base da indução: verificar que P(1) é verdadeira.
    2. Passo indutivo: assumir que P(k) é verdadeira para um k\ge1 fixo (essa suposição chama-se hipótese de indução) e, com isso, provar que P(k+1) também é verdadeira.
  • Se essas duas etapas forem feitas corretamente, então P(n) vale para todo inteiro n\ge1.
    Vou aplicar exatamente esse esquema à igualdade pedida.

Passo 3

Base da indução ( n=1). Aqui verificamos diretamente a identidade para n=1.
Calcule o lado esquerdo:
a^{1}-b^{1}=a-b.
Calcule o lado direito: para n=1 a soma \left(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+b^{n-1}\right) tem exatamente um termo, que é a^{0}b^{0}=1. Então
(a-b)\left(a^{0}\right)=(a-b)\cdot 1 = a-b.
Como ambos os lados são iguais, a identidade é verdadeira para n=1. Base verificada.

Passo 4

Hipótese de indução. Suponha que para algum k\ge 1 a afirmação seja verdadeira, isto é, suponha
a^{k}-b^{k}=(a-b)\left(a^{k-1}+a^{k-2}b+\cdots+ab^{k-2}+b^{k-1}\right).
Esta é a hipótese de indução que vamos usar para provar o caso n=k+1.

Passo 5

Passo indutivo: provar a identidade para n=k+1.
Começamos com o lado esquerdo para n=k+1:
a^{k+1}-b^{k+1}.
Reescreve-se como
a^{k+1}-b^{k+1}=a\cdot a^{k}-b\cdot b^{k}.
Agora fazemos uma decomposição conveniente (adicionar e subtrair o mesmo termo) para poder colocar a hipótese de indução:
a\cdot a^{k}-b\cdot b^{k} = a\cdot a^{k}-a\cdot b^{k}+a\cdot b^{k}-b\cdot b^{k}.
Agrupando:
a\cdot a^{k}-b\cdot b^{k} = a\bigl(a^{k}-b^{k}\bigr) + (a-b)\,b^{k}.
Agora aplicamos a hipótese de indução à diferença \bigl(a^{k}-b^{k}\bigr). Substituindo a hipótese:
a\bigl(a^{k}-b^{k}\bigr) = a\,(a-b)\left(a^{k-1}+a^{k-2}b+\cdots+ab^{k-2}+b^{k-1}\right).
Portanto
a^{k+1}-b^{k+1} = (a-b)\left[a\left(a^{k-1}+a^{k-2}b+\cdots+ab^{k-2}+b^{k-1}\right) + b^{k}\right].
Agora simplificamos a expressão dentro dos colchetes. Multiplicando a pela soma, obtemos os termos
a^{k}+a^{k-1}b+\cdots+a^{2}b^{k-2}+ab^{k-1}.
Somando o termo b^{k} no final, a sequência de termos fica
a^{k}+a^{k-1}b+\cdots+ab^{k-1}+b^{k}.
Isto é precisamente a soma com k+1 termos correspondente ao caso n=k+1. Logo
a^{k+1}-b^{k+1}=(a-b)\left(a^{k}+a^{k-1}b+\cdots+ab^{k-1}+b^{k}\right).
Assim demonstramos que, sob a hipótese de que a identidade vale para n=k, ela vale também para n=k+1.

Passo 6

Conclusão por indução. Como a identidade foi verificada para n=1 (base) e mostramos que a validade para n=k implica validade para n=k+1 (passo indutivo), pelo princípio da indução matemática a identidade é verdadeira para todo inteiro n\ge 1. Observação: o enunciado exige a\neq b, porque se a=b ambos os lados valem 0 (a identidade continua válida), mas o fator (a-b) seria zero — a restrição é apenas para evitar divisão por zero em contextos relacionados; a prova por indução acima funciona independentemente, respeitando o enunciado.

Resposta

a^{n}-b^{n}=(a-b)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1}\right)

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