Demonstre, usando indução, que as desigualdades a seguir são verdadeiras:
(a) 2^{n}<2^{n+1}, para todo inteiro n \geq 1.

Passo 1

O enunciado pede que se demonstre, usando indução, que a desigualdade abaixo é verdadeira para todo inteiro n maior ou igual a 1:
2^{n} < 2^{n+1}.
Informações dadas/visíveis no enunciado:
  • A desigualdade envolve potências de 2.
  • O índice n varia por inteiros com a condição n\geq 1.
  • Deve-se usar o método da indução matemática (isto é parte do pedido).

Passo 2

Vou explicar rapidinho o que é indução matemática (passo didático): provar por indução significa duas coisas.
  1. Prova da base: mostrar que a propriedade vale para o primeiro inteiro da sequência (aqui n=1).
  2. Passo indutivo: assumir que a propriedade vale para um inteiro arbitrário k\geq 1 (hipótese de indução) e a partir disso mostrar que ela vale para k+1.
A conclusão do princípio da indução é: se a base é verdadeira e o passo indutivo está provado, então a propriedade é verdadeira para todo inteiro n\geq 1. Vou aplicar exatamente esses dois itens ao nosso problema.

Passo 3

Base da indução ( n=1). Verificar a desigualdade para n=1:
2^{1} = 2,\qquad 2^{2}=4,
e claramente
2^{1} < 2^{2},
isto é, 2<4. Logo a base é verdadeira.

Passo 4

Hipótese de indução. Suponha que para um certo inteiro arbitrário k\geq 1 vale
2^{k} < 2^{k+1}.
Essa é a hipótese que vamos usar para demonstrar a próxima instância ( k+1).

Passo 5

Passo indutivo: mostrar que a partir de 2^{k} < 2^{k+1} segue 2^{k+1} < 2^{k+2}.
Justificativa detalhada das operações:
  • Multiplicar desigualdades por um número positivo preserva a desigualdade (se a<b e c>0 então ac<bc). Aqui o número positivo é 2.
  • Regra de potências: para quaisquer inteiros m,n vale 2^{m}\cdot 2^{n}=2^{m+n}. Em particular 2\cdot 2^{k}=2^{k+1} e 2\cdot 2^{k+1}=2^{k+2}.
Aplicando esses fatos: multiplicando a desigualdade da hipótese por 2 (que é positivo) obtemos
2\cdot 2^{k} < 2\cdot 2^{k+1}.
Pelo fato das potências isto é exatamente
2^{k+1} < 2^{k+2}.
Portanto o passo indutivo está provado: a validade para k implica a validade para k+1.

Passo 6

Conclusão por indução. Como verificamos a base ( n=1) e mostramos que a hipótese para um k implica o caso k+1, pelo princípio da indução matemática a desigualdade
2^{n} < 2^{n+1}
é verdadeira para todo inteiro n\geq 1.

Resposta

2^{n} < 2^{n+1}\quad\text{para todo inteiro }n\geq 1.

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