Demonstre, usando indução, que as desigualdades a seguir são verdadeiras:
(a)
, para todo inteiro
.
(a)
Passo 1
O enunciado pede que se demonstre, usando indução, que a desigualdade abaixo é verdadeira para todo inteiro
maior ou igual a
:
Informações dadas/visíveis no enunciado:
- A desigualdade envolve potências de
. - O índice
varia por inteiros com a condição . - Deve-se usar o método da indução matemática (isto é parte do pedido).
Passo 2
Vou explicar rapidinho o que é indução matemática (passo didático): provar por indução significa duas coisas.
- Prova da base: mostrar que a propriedade vale para o primeiro inteiro da sequência (aqui
). - Passo indutivo: assumir que a propriedade vale para um inteiro arbitrário
(hipótese de indução) e a partir disso mostrar que ela vale para .
A conclusão do princípio da indução é: se a base é verdadeira e o passo indutivo está provado, então a propriedade é verdadeira para todo inteiro
. Vou aplicar exatamente esses dois itens ao nosso problema.
Passo 3
Base da indução (
). Verificar a desigualdade para
:
e claramente
isto é,
. Logo a base é verdadeira.
Passo 4
Hipótese de indução. Suponha que para um certo inteiro arbitrário
vale
Essa é a hipótese que vamos usar para demonstrar a próxima instância (
).
Passo 5
Passo indutivo: mostrar que a partir de
segue
.
Justificativa detalhada das operações:
- Multiplicar desigualdades por um número positivo preserva a desigualdade (se
e então ). Aqui o número positivo é . - Regra de potências: para quaisquer inteiros
vale . Em particular e .
Aplicando esses fatos: multiplicando a desigualdade da hipótese por
(que é positivo) obtemos
Pelo fato das potências isto é exatamente
Portanto o passo indutivo está provado: a validade para
implica a validade para
.
Passo 6
Conclusão por indução. Como verificamos a base (
) e mostramos que a hipótese para um
implica o caso
, pelo princípio da indução matemática a desigualdade
é verdadeira para todo inteiro
.