Demonstre, usando indução, que os resultados a seguir valem.
(b)
, para todo inteiro ímpar
e
.
(b)
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar, por indução, que para todo inteiro ímpar
e para
vale a identidade
Informações relevantes dadas:
-
é ímpar e . -
e são números (com a restrição fornecida).
A tarefa é provar a igualdade para todoímpar usando indução. Não se resolve nada neste passo, apenas ficou claro o que precisamos provar e as hipóteses.
Passo 2
Plano de prova (escolha do tipo de indução):
- É natural parametrizar
ímpar escrevendo com . Vamos provar por indução em a seguinte proposição :
Mostrar
(caso base) e então provar que
. Isso cobre todos os
ímpares
porque
dá
,
dá
, e assim por diante.
Passo 3
Caso base
(isto é,
). Vamos verificar diretamente:
A soma do lado direito é
A soma do lado direito é
Multiplicando por
:
Portanto
é verdadeira:
.
Passo 4
Hipótese de indução. Suponha que para algum
a proposição
seja verdadeira, isto é suponha que
Queremos provar
, ou seja
onde
Passo 5
Relacionando
e
. Observe que
contém todos os termos de
exceto os dois últimos (os correspondentes a
e
). Portanto
Como
é ímpar,
e
. Assim
Logo obtemos a identidade útil
Passo 6
Multiplicando pela fator
e usando a hipótese de indução. Multiplique a identidade do passo anterior por
:
Pela hipótese de indução
. Substituindo:
Calcule cada termo:
e
portanto
Somando esses dois resultados:
As duas parcelas
cancelam entre si exatamente, ficando o que queríamos.
Passo 7
Conclusão da indução. Mostramos que
é verdadeira e que
. Pelo princípio da indução,
vale para todo
. Como
, isso prova a identidade para todo inteiro ímpar
. A restrição
garante que o fator
não seja zero se se quiser dividir; a identidade, no entanto, é algebraicamente válida também quando
(o produto e a soma são então ambos zero para
ímpar).