Demonstre que o valor da integral independe da trajetória, calculando o potencial
é qualquer curva suave definida por partes desde o ponto
até o ponto (
).
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
e pede para mostrar que a integral de linha de
é independente da trajetória, calculando um potencial escalar
tal que
. Então o valor da integral entre dois pontos
e
será
.
Passo 2
Começamos a achar
integrando a componente
:
Passo 3
Agora usamos a componente
. De
vem
que deve ser igual a
Cancelando o termo comum, obtemos
Passo 4
Finalmente, da expressão
temos
que deve coincidir com
Logo
e
Escolhendo
, um potencial válido é
Passo 5
O valor da integral ao longo de qualquer curva suave de
a
é
Calculando cada termo:
Então