Demonstre que o valor da integral independe da trajetória, calculando o potencial
\mathbf{F}(x, y)=\frac{y}{1+x^{2} y^{2}} \mathbf{i}+\left(\frac{x}{1+x^{2} y^{2}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^{2} y^{2}}}\right) \mathbf{j} \left(\frac{y}{\sqrt{1+z^{2} y^{2}}}+\frac{1}{z}\right) \mathbf{k}, C é qualquer curva suave definida por partes desde o ponto (1,2,-1) até o ponto ( 2,4,-2 ).

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y,z) = \frac{y}{1+x^{2}y^{2}}\,\mathbf{i} +\Bigl(\frac{x}{1+x^{2}y^{2}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^{2}y^{2}}}\Bigr)\,\mathbf{j} +\Bigl(\frac{y}{\sqrt{1+z^{2}y^{2}}}+\frac{1}{z}\Bigr)\,\mathbf{k}
e pede para mostrar que a integral de linha de \mathbf{F} é independente da trajetória, calculando um potencial escalar \varphi(x,y,z) tal que \nabla\varphi=\mathbf{F}. Então o valor da integral entre dois pontos (1,2,-1) e (2,4,-2) será \varphi(2,4,-2)-\varphi(1,2,-1).

Passo 2

Começamos a achar \varphi integrando a componente i:
\frac{\partial\varphi}{\partial x} =\frac{y}{1+x^{2}y^{2}} \quad\Longrightarrow\quad \varphi(x,y,z) =\int \frac{y}{1+x^{2}y^{2}}\,dx =\arctan(xy)+g(y,z).

Passo 3

Agora usamos a componente j. De \varphi=\arctan(xy)+g(y,z) vem
\frac{\partial\varphi}{\partial y} =\frac{x}{1+x^{2}y^{2}}+\frac{\partial g}{\partial y}
que deve ser igual a
F_{j}=\frac{x}{1+x^{2}y^{2}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^{2}y^{2}}}.
Cancelando o termo comum, obtemos
\frac{\partial g}{\partial y} =\frac{z}{\sqrt{1+z^{2}y^{2}}} \quad\Longrightarrow\quad g(y,z) =\int \frac{z}{\sqrt{1+z^{2}y^{2}}}\,dy =\operatorname{arcsinh}(z\,y)+h(z).

Passo 4

Finalmente, da expressão
\varphi(x,y,z)=\arctan(xy)+\operatorname{arcsinh}(zy)+h(z)
temos
\frac{\partial\varphi}{\partial z} =\frac{y}{\sqrt{1+z^{2}y^{2}}}+h'(z)
que deve coincidir com
F_{k}=\frac{y}{\sqrt{1+z^{2}y^{2}}}+\frac{1}{z}.
Logo h'(z)=1/z e
h(z)=\ln\lvert z\rvert + C.
Escolhendo C=0, um potencial válido é
\varphi(x,y,z) =\arctan(xy)+\operatorname{arcsinh}(zy)+\ln\lvert z\rvert.

Passo 5

O valor da integral ao longo de qualquer curva suave de (1,2,-1) a (2,4,-2) é
\varphi(2,4,-2)-\varphi(1,2,-1).
Calculando cada termo:
\varphi(2,4,-2) =\arctan(8)+\operatorname{arcsinh}(-8)+\ln 2 =\arctan(8)-\operatorname{arcsinh}(8)+\ln2,
\varphi(1,2,-1) =\arctan(2)+\operatorname{arcsinh}(-2)+\ln1 =\arctan(2)-\operatorname{arcsinh}(2).
Então
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\bigl[\arctan(8)-\arctan(2)\bigr] -\bigl[\operatorname{arcsinh}(8)-\operatorname{arcsinh}(2)\bigr] +\ln2.

Resposta

\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\arctan(8)-\arctan(2) -\operatorname{arcsinh}(8)+\operatorname{arcsinh}(2) +\ln2.

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