Determine se \mathbf{F} é um campo vetorial conservativo. Se for, encontre uma função potencial para ele
\mathbf{F}(t)=e^{x} \cos y \mathbf{i}-e^{y} \sin y \mathbf{j}

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y)=P(x,y)\,\mathbf{i}+Q(x,y)\,\mathbf{j}
com
P(x,y)=e^{x}\cos y, \quad Q(x,y)=-e^{y}\sin y.
Queremos verificar se \mathbf{F} é conservativo em \mathbb{R}^2. Num domínio simplesmente conexo (como \mathbb{R}^2), um campo \mathbf{F}=(P,Q) é conservativo se, e somente se,
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x}\cos y\bigr) =-e^{x}\sin y,
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-e^{y}\sin y\bigr) =0.
Como
-e^{x}\sin y\neq 0 \quad\text{em geral},
não temos
\partial P/\partial y=\partial Q/\partial x. Logo, o critério de conservatividade falha.

Resposta

\mathbf{F} não é conservativo em \mathbb{R}^2, e portanto não existe função potencial global para ele.

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