Use o Teorema de Stokes para calcular
.
\mathbf{F}(x, y, z)=x y z \mathbf{i}+x \mathbf{j}+e^{x y} \cos z \mathbf{k},
é o hemisfério
, orientado ascendentemente
\mathbf{F}(x, y, z)=x y z \mathbf{i}+x \mathbf{j}+e^{x y} \cos z \mathbf{k},
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
e
é o hemisfério
,
, orientado com a normal para cima. Vamos aplicar o Teorema de Stokes, que diz
Passo 2
A curva
é o círculo de raio 1 no plano
. Como a normal de
aponta para cima, a orientação positiva de
é no sentido anti-horário visto de cima. Podemos parametrizar
Passo 3
Calculamos
ao longo de
. Como
, temos
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Passo 4
O produto escalar é
Assim