Use o Teorema de Stokes para calcular \iint_{S} \operatorname{rot} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}.
\mathbf{F}(x, y, z)=x y z \mathbf{i}+x \mathbf{j}+e^{x y} \cos z \mathbf{k}, S é o hemisfério x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, z \geq 0, orientado ascendentemente

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iint_{S}\operatorname{rot}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S},
onde
\mathbf{F}(x,y,z)=xyz\,\mathbf{i}+x\,\mathbf{j}+e^{xy}\cos z\,\mathbf{k},
e S é o hemisfério x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, z\ge0, orientado com a normal para cima. Vamos aplicar o Teorema de Stokes, que diz
\iint_{S}\operatorname{rot}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} =\oint_{\partial S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.

Passo 2

A curva \partial S é o círculo de raio 1 no plano z=0. Como a normal de S aponta para cima, a orientação positiva de \partial S é no sentido anti-horário visto de cima. Podemos parametrizar
\mathbf{r}(t)=(\cos t,\;\sin t,\;0),\quad t\in[0,2\pi].

Passo 3

Calculamos \mathbf{F} ao longo de \partial S. Como z=0, temos
xyz=0,\quad e^{xy}\cos z=e^{xy}\cdot1=e^{xy}.
Logo
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) =(0,\;\cos t,\;e^{\cos t\,\sin t}).
Também
d\mathbf{r}=\mathbf{r}'(t)\,dt=(-\sin t,\;\cos t,\;0)\,dt.

Passo 4

O produto escalar é
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot d\mathbf{r} =0\cdot(-\sin t)+\cos t\cdot\cos t+e^{\cos t\,\sin t}\cdot0 =\cos^{2}t\,dt.
Assim
\oint_{\partial S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}t\,dt =\int_{0}^{2\pi}\frac{1+\cos2t}{2}\,dt =\biggl[\frac t2+\frac{\sin2t}{4}\biggr]_{0}^{2\pi} =\pi.

Resposta

\pi

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