Demonstre que a variação temporal da concentração
do i-ésimo componente químico em um dado volume pode ser escrita como a soma do fluxo que sai do volume com a produção do componente no interior do volume de acordo com
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão pede. A gente tem a concentração de um componente químico
num volume fixo e quer mostrar que a variação temporal dela pode ser escrita como
Isso é basicamente um balanço de massa para a espécie
, misturando dois conteúdos da matéria:
- Teoria de balanço em volume de controle (conservação);
- Teorema da divergência (Gauss), para trocar fluxo de superfície por divergência no volume.
Vamos usar esses dois ingredientes para chegar na fórmula.
Passo 2
Primeiro, a gente pensa num volume de controle fixo
com superfície
. A quantidade total de
dentro dele é
Pelo balanço de massa, a taxa de variação dessa quantidade é igual ao que sai pelo contorno (fluxo) mais o que é gerado/quimicamente produzido dentro do volume. Em forma de integral fica:
onde
é o fluxo (jornada de saída) e
é a taxa de produção por volume.
Passo 3
Como o volume é fixo, a derivada entra direitinho no integrando:
Agora usamos o Teorema da Divergência (ou Gauss):
[
\int_{\partial V}\vec J_i\cdot\vec n,dS
\int_V \nabla!\cdot\vec J_i,dV.
]
]
Substituindo isso:
[
\int_V \frac{\partial c_i}{\partial t},dV
-!\int_V \nabla!\cdot\vec J_i,dV
+
\int_V \nu_i,v,dV.
]
+
\int_V \nu_i,v,dV.
]
Passo 4
Juntando tudo num só integral sobre
:
Como
é um volume arbitrário, a única forma de o integral dar zero sempre é fazendo o integrando ser nulo em todo lugar. Ou seja,