Demonstre que a variação temporal da concentração ci do i-ésimo componente químico em um dado volume pode ser escrita como a soma do fluxo que sai do volume com a produção do componente no interior do volume de acordo com
partial cipartial t=-nabla cdot Ji+nui v

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede. A gente tem a concentração de um componente químico partial cipartial t ;=; -nabla!cdot vec Ji ;+; nui,v num volume fixo e quer mostrar que a variação temporal dela pode ser escrita como
Isso é basicamente um balanço de massa para a espécie , misturando dois conteúdos da matéria:
  1. Teoria de balanço em volume de controle (conservação);
  2. Teorema da divergência (Gauss), para trocar fluxo de superfície por divergência no volume.
    Vamos usar esses dois ingredientes para chegar na fórmula.

Passo 2

Primeiro, a gente pensa num volume de controle fixo integralV ci(vec x, t),dV com superfície ddtintegralV ci,dV ;=; -!integralpartial Vvec Jicdotvec n,dS ;+; integralV nui,v,dV, . A quantidade total de dentro dele é
Pelo balanço de massa, a taxa de variação dessa quantidade é igual ao que sai pelo contorno (fluxo) mais o que é gerado/quimicamente produzido dentro do volume. Em forma de integral fica:
onde é o fluxo (jornada de saída) e é a taxa de produção por volume.

Passo 3

Como o volume é fixo, a derivada entra direitinho no integrando:
integralV partial cipartial t,dV ;=; -!integralpartial Vvec Jicdotvec n,dS ;+; integralV nui,v,dV
Agora usamos o Teorema da Divergência (ou Gauss):
[
\int_{\partial V}\vec J_i\cdot\vec n,dS

\int_V \nabla!\cdot\vec J_i,dV.
]
Substituindo isso:

[
\int_V \frac{\partial c_i}{\partial t},dV

-!\int_V \nabla!\cdot\vec J_i,dV
+
\int_V \nu_i,v,dV.
]

Passo 4

Juntando tudo num só integral sobre integralV l(partial cipartial t +nabla!cdotvec Ji -nui,vr),dV =0 :
partial cipartial t +nabla!cdotvec Ji -nui,v =0
Como é um volume arbitrário, a única forma de o integral dar zero sempre é fazendo o integrando ser nulo em todo lugar. Ou seja,

Resposta

boxed partial cipartial t ;=; -nabla!cdot vec Ji ;+; nui,v

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