A partir da definição do divergente, obtenha uma expressão para
em coordenadas cilíndricas.
Passo 1
O que o enunciado pede: obter uma expressão para
em coordenadas cilíndricas a partir da definição do divergente.
Informações dadas (assumidas porque a questão não especifica, mas são as usuais para essa dedução):
é escrita em componentes cilíndricas como
A definição do divergente que vamos usar é a definida via fluxo:
ou seja, divergente = fluxo líquido por unidade de volume no limite do volume tendendo a zero.
Nenhuma outra informação foi fornecida; por isso vou derivar a expressão usando um pequeno elemento de volume em coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Escolhemos um pequeno elemento de volume em coordenadas cilíndricas:
,
,
. O volume desse elemento vale
Explicação rápida de por que aparece o fator
: ao movimentar-se um pequeno ângulo
a uma distância radial
, o comprimento do arco é
; portanto as extensões em
fazem o volume ser
.
Vamos calcular o fluxo através das seis faces desse paralelepípedo curvo (duas faces normais a
, duas normais a
e duas normais a
), somar e dividir por
, e depois tomar o limite.
Passo 3
Fluxo pelas faces radiais (normais a
):
- Face externa em
: a área dessa face é (porque o comprimento do arco ali é ), e o fluxo saindo é aproximadamente
- Face interna em
: a área é , e o fluxo saindo pela face interna (que aponta no sentido negativo de ) é
Fluxo radial líquido:
Fazendo expansão em série de Taylor em
e ficando com termos de primeira ordem:
Portanto
Dividindo pelo volume
obtemos a contribuição radial para o divergente:
Aqui expliquei cada termo:
é a componente radial da velocidade/campo; multiplicamos por
porque a área da face radial é proporcional ao comprimento do arco
.
Passo 4
Fluxo pelas faces azimutais (normais a
):
- Face em
: essa face tem área aproximada (é um retângulo com lados e ), e o fluxo saindo é aproximadamente
- Face em
: fluxo saindo (que aponta no sentido negativo de ) é
Observação didática: a razão pela qual a área das faces azimutais é
e não envolve
é porque estas faces são cortadas por superfícies de constante
; o comprimento ao longo
não aparece aqui — o fator
que representa o “alongamento” angular está já presente no volume
via
.
Fluxo azimutal líquido:
Expandindo em Taylor em
:
Logo
Dividindo por
obtemos a contribuição azimutal:
Passo 5
Fluxo pelas faces verticais (normais a
):
- Face superior em
: área dessa face é (a área horizontal é o retângulo com lados e ); fluxo saindo é
- Face inferior em
: fluxo saindo (para fora do volume, que é direção negativa de naquela face) é
Fluxo vertical líquido:
Expandindo em Taylor em
:
Logo
Dividindo por
obtemos a contribuição vertical:
Passo 6
Somando as três contribuições (radial, azimutal e vertical) obtemos, no limite
,
Explicação do que cada termo representa:
-
: variação radial do fluxo por unidade de área radial (o vem da geometria do arco). -
: variação angular da componente tangencial por unidade de ângulo, normalizada pelo raio . -
: variação vertical usual.
Observação didática: uma razão para preferir a derivação por fluxo é que as unidades vetoriais
e
dependem de
; se você tentasse diferenciar componentes sem cuidar disso, teria de tratar a derivada dos vetores unitários. O método do fluxo evita esse trabalho porque usa diretamente as áreas das faces.