Demonstre que, se x e y são vetores quaisquer do \mathbb{R}^{n} então: Dica: desenvolva os segundos membros das igualdades acima, observando que
\|x+y\|^{2}=\langle x+y, x+y\rangle \quad \text { e } \quad\|x-y\|^{2}=\langle x-y, x-y\rangle .
\|x\|^{2}+\|\left. y\right|^{2}=\frac{1}{2}\left(\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}\right).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • São dados dois vetores quaisquer \;x e \;y em \mathbb{R}^{n}.
  • Pede-se para demonstrar a identidade
\|x\|^{2}+\|y\|^{2}=\frac{1}{2}\big(\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}\big).
  • A dica fornece relações úteis que serão usadas: \|x+y\|^{2}=\langle x+y,\,x+y\rangle e \|x-y\|^{2}=\langle x-y,\,x-y\rangle.

Passo 2

Recordando definições e propriedades básicas (passo didático, sem pular etapas):
  • A norma quadrada de um vetor é definida em termos do produto interno por
\|v\|^{2}=\langle v, v\rangle
para qualquer vetor v\in\mathbb{R}^{n}.
  • O produto interno (ou produto escalar) \langle \cdot,\cdot\rangle em \mathbb{R}^{n} tem as propriedades essenciais que usaremos:
    1. Linearidade na primeira componente:
    \langle u+w, z\rangle=\langle u,z\rangle+\langle w,z\rangle, \qquad \langle \alpha u, z\rangle=\alpha\langle u,z\ranglepara escalares \alpha e vetores u,w,z.
    2. Simetria: \langle u,v\rangle=\langle v,u\rangle.
    1. Em particular, para dois vetores x,y vale
    \langle x\pm y, x\pm y\rangle =\langle x,x\rangle \pm 2\langle x,y\rangle +\langle y,y\rangle,que é exatamente o desenvolvimento que a dica sugere fazer.
Vou usar essas propriedades explicitamente nos próximos passos para não pular nada.

Passo 3

Expandir \|x+y\|^{2} passo a passo usando a definição e linearidade:
Começo pela relação dada:
\|x+y\|^{2}=\langle x+y, x+y\rangle.
Aplicando a linearidade em cada termo:
\langle x+y, x+y\rangle = \langle x, x+y\rangle + \langle y, x+y\rangle.
Agora expando cada parcela novamente:
\langle x, x+y\rangle = \langle x,x\rangle + \langle x,y\rangle, \qquad \langle y, x+y\rangle = \langle y,x\rangle + \langle y,y\rangle.
Usando a simetria \langle y,x\rangle=\langle x,y\rangle, somando as parcelas obtenho:
\|x+y\|^{2} = \langle x,x\rangle + 2\langle x,y\rangle + \langle y,y\rangle = \|x\|^{2} + 2\langle x,y\rangle + \|y\|^{2}.

Passo 4

Expandir \|x-y\|^{2} de maneira análoga:
Parto de
\|x-y\|^{2}=\langle x-y, x-y\rangle.
Pela linearidade:
\langle x-y, x-y\rangle = \langle x, x-y\rangle - \langle y, x-y\rangle.
Expandindo:
\langle x, x-y\rangle = \langle x,x\rangle - \langle x,y\rangle, \qquad \langle y, x-y\rangle = \langle y,x\rangle - \langle y,y\rangle.
Novamente usando \langle y,x\rangle=\langle x,y\rangle e substituindo:
\|x-y\|^{2} = \langle x,x\rangle - 2\langle x,y\rangle + \langle y,y\rangle = \|x\|^{2} - 2\langle x,y\rangle + \|y\|^{2}.

Passo 5

Somar as duas expressões obtidas e simplificar:
Somando \|x+y\|^{2} e \|x-y\|^{2}:
\begin{aligned} \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2} &= \big(\|x\|^{2} + 2\langle x,y\rangle + \|y\|^{2}\big) + \big(\|x\|^{2} - 2\langle x,y\rangle + \|y\|^{2}\big)\\\ &= 2\|x\|^{2} + 2\|y\|^{2}, \end{aligned}
pois os termos 2\langle x,y\rangle e -2\langle x,y\rangle se cancelam.
Dividindo os dois lados por 2 resulta exatamente na identidade desejada:
\|x\|^{2}+\|y\|^{2} =\frac{1}{2}\big(\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}\big).

Passo 6

Comentário intuitivo e exemplo numérico (para fixar):
  • Intuitivamente: a soma das normas quadradas de x e y é a média das normas quadradas das combinações x+y e x-y. O termo misto \langle x,y\rangle aparece com sinais opostos nas expansões e por isso some quando somamos as duas expansões — esse é o cerne da identidade.
  • Exemplo rápido em \mathbb{R}^{2}: seja x=(1,2) e y=(3,-1).
    Calcular \|x\|^{2}=1^{2}+2^{2}=5 e \|y\|^{2}=3^{2}+(-1)^{2}=10, então \|x\|^{2}+\|y\|^{2}=15.
    Agora x+y=(4,1) tem \|x+y\|^{2}=4^{2}+1^{2}=17 e x-y=(-2,3) tem \|x-y\|^{2}=(-2)^{2}+3^{2}=13.
    A média \tfrac{1}{2}(17+13)=15 confere com o lado esquerdo, checando na prática a identidade.

Resposta

\|x\|^{2}+\|y\|^{2}=\dfrac{1}{2}\big(\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}\big)

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