Demonstre que, se
e
são vetores quaisquer do
então: Dica: desenvolva os segundos membros das igualdades acima, observando que
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- São dados dois vetores quaisquer
e em . - Pede-se para demonstrar a identidade
- A dica fornece relações úteis que serão usadas:
e .
Passo 2
Recordando definições e propriedades básicas (passo didático, sem pular etapas):
- A norma quadrada de um vetor é definida em termos do produto interno por
para qualquer vetor
.
- O produto interno (ou produto escalar)
em tem as propriedades essenciais que usaremos: - Linearidade na primeira componente:
para escalares e vetores .
2. Simetria:- Em particular, para dois vetores
vale
que é exatamente o desenvolvimento que a dica sugere fazer.
Vou usar essas propriedades explicitamente nos próximos passos para não pular nada.
Passo 3
Expandir
passo a passo usando a definição e linearidade:
Começo pela relação dada:
Aplicando a linearidade em cada termo:
Agora expando cada parcela novamente:
Usando a simetria
, somando as parcelas obtenho:
Passo 4
Expandir
de maneira análoga:
Parto de
Pela linearidade:
Expandindo:
Novamente usando
e substituindo:
Passo 5
Somar as duas expressões obtidas e simplificar:
Somando
e
:
pois os termos
e
se cancelam.
Dividindo os dois lados por
resulta exatamente na identidade desejada:
Passo 6
Comentário intuitivo e exemplo numérico (para fixar):
-
Intuitivamente: a soma das normas quadradas de
e é a média das normas quadradas das combinações e . O termo misto aparece com sinais opostos nas expansões e por isso some quando somamos as duas expansões — esse é o cerne da identidade. -
Exemplo rápido em
: seja e .
Calculare , então .
Agoratem e tem .
A médiaconfere com o lado esquerdo, checando na prática a identidade.