Prove as propriedades do Produto Interno enunciadas em aula. Isto é, dados x, y, z vetores do \mathbb{R}^{n} e \alpha \in \mathbb{R} prove que: \langle x, y\rangle=\langle y, x\rangle
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos dado. O enunciado pede para provar a propriedade de simetria do produto interno: mostrar que \langle x,y\rangle=\langle y,x\rangle para quaisquer vetores x,y\in\mathbb{R}^{n}.
Informações e definições que vamos usar (todas dadas pelo enunciado ou por definição padrão do espaço \mathbb{R}^n):
Vetores x e y têm coordenadas reais; isto é, x=(x_1,x_2,\dots,x_n) e y=(y_1,y_2,\dots,y_n) com cada x_i,y_i\in\mathbb{R}.
Definição do produto interno canônico (produto escalar) em \mathbb{R}^n:
\langle x,y\rangle=\sum_{i=1}^{n} x_i y_i.
Propriedades básicas dos números reais que usaremos: a multiplicação em \mathbb{R} é comutativa (ab=ba para quaisquer a,b\in\mathbb{R}); a adição em \mathbb{R} é comutativa e associativa, o que permite somar termos em qualquer ordem.
Passo 2
Explicar o que significa a igualdade termo a termo na soma. A soma \sum_{i=1}^{n} x_i y_i é a soma finita dos termos x_1y_1,x_2y_2,\dots,x_ny_n. Se para cada índice i tivermos x_i y_i = y_i x_i, então somando essas igualdades para i=1,\dots,n obtemos igualdade das somas. Isto usa que soma preserva igualdade e que estamos somando um número finito de termos (não há problemas de convergência).
Passo 3
Usar a comutatividade da multiplicação real termo a termo. Para cada i\in\{1,\dots,n\} vale, porque x_i,y_i\in\mathbb{R} e a multiplicação em \mathbb{R} é comutativa,
x_i y_i = y_i x_i.
Passo 4
Somar as igualdades termo a termo para todos os índices. Somando as igualdades do Passo 3 para i=1 até n obtemos
\sum_{i=1}^{n} x_i y_i = \sum_{i=1}^{n} y_i x_i.
A justificativa é simples: se a_i=b_i para todo i em um conjunto finito de índices, então \sum_i a_i = \sum_i b_i.
Passo 5
Reconhecer a soma da direita como o produto interno trocando a ordem dos vetores. Pela definição do produto interno canônico,
\sum_{i=1}^{n} y_i x_i = \langle y,x\rangle.
Portanto, da igualdade do Passo 4 segue
\langle x,y\rangle = \langle y,x\rangle.
Passo 6
Comentário didático e observação final. O ponto central do argumento é a comutatividade da multiplicação em \mathbb{R} aplicada a cada coordenada e o fato de podermos somar as igualdades. Em espaços sobre \mathbb{C} o análogo é a propriedades de conjugação e a simetria vira conjugado-simetria \langle x,y\rangle=\overline{\langle y,x\rangle}; aqui, em \mathbb{R}^n, como não há conjugação, a simetria é simplesmente \langle x,y\rangle=\langle y,x\rangle.