Prove as propriedades do Produto Interno enunciadas em aula. Isto é, dados x, y, z vetores do \mathbb{R}^{n} e \alpha \in \mathbb{R} prove que:
\langle x, x\rangle \geq 0 e \langle x, x\rangle=0 se, e somente se, x=0.

Passo 1

O enunciado pede para provar duas propriedades do produto interno (produto escalar) no espaço \mathbb{R}^{n}. Dados x,y,z\in\mathbb{R}^{n} e \alpha\in\mathbb{R}, vamos focar nas afirmações específicas que devemos demonstrar:
  • Mostrar que \langle x,x\rangle \geq 0 para todo x\in\mathbb{R}^{n}.
  • Mostrar que \langle x,x\rangle = 0 se, e somente se, x=0.
Informações relevantes que temos (definição padrão do produto interno no \mathbb{R}^{n}):
  • Se x=(x_1,x_2,\dots,x_n) e y=(y_1,y_2,\dots,y_n) então
\langle x,y\rangle = \sum_{i=1}^{n} x_i y_i.
  • Em particular,
\langle x,x\rangle = \sum_{i=1}^{n} x_i^2.

Passo 2

Lembrete importante sobre números reais (uma pequena “aula” necessária aqui):
  • Para qualquer número real a vale \,a^2\ge 0. Isso decorre do fato de que o quadrado de um real é sempre não negativo (se a\ge0 então a^2\ge0; se a<0 então (-a)>0 e (-a)^2=a^2\ge0).
  • Além disso, \,a^2=0 se, e somente se, a=0. Ou seja, o único número real cujo quadrado é zero é o zero.
Essas duas observações simples sobre quadrados são a base do argumento para vetores: coordenadas ao quadrado são não negativas e só podem ser zero se a coordenada for zero.

Passo 3

Calcular explicitamente \langle x,x\rangle usando a definição:
\langle x,x\rangle = \sum_{i=1}^{n} x_i^2.
Cada termo x_i^2 é um quadrado de número real, portanto por Passo 2 temos x_i^2 \ge 0 para todo i. Como soma de números não negativos é não negativa, concluímos imediatamente que
\langle x,x\rangle = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 \ge 0.
Isto prova a primeira parte: \langle x,x\rangle \ge 0 para todo x\in\mathbb{R}^{n}.

Passo 4

Agora provamos a parte “se, e somente se” sobre anularidade.
Primeiro, a direção fácil: se x=0 então todas as coordenadas x_i=0. Assim
\langle x,x\rangle = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 = \sum_{i=1}^{n} 0^2 = 0.
Portanto x=0 implica \langle x,x\rangle = 0.
Segundo, a direção converse: suponha \langle x,x\rangle = 0. Então
\sum_{i=1}^{n} x_i^2 = 0.
Mas por Passo 2 cada termo x_i^2 é \ge0. A única maneira de uma soma de números não negativos ser igual a zero é que cada termo da soma seja zero. Logo, para todo i temos x_i^2=0, o que implica x_i=0. Assim todas as coordenadas são zero e x=(0,0,\dots,0), isto é, x=0.
Isso prova que \langle x,x\rangle = 0 implica x=0.

Passo 5

Juntando as duas direções do Passo 4 e a desigualdade do Passo 3, obtemos exatamente as propriedades pedidas:
  • \langle x,x\rangle \ge 0 para todo x\in\mathbb{R}^{n}.
  • \langle x,x\rangle = 0 se, e somente se, x=0.
Uma observação final para te animar: essa propriedade é a que garante que a expressão \sqrt{\langle x,x\rangle} define uma norma (o comprimento) no espaço \mathbb{R}^{n}. É por isso que \langle x,x\rangle ser não negativa e somente zero no vetor nulo é tão importante.

Resposta

\langle x,x\rangle \geq 0 para todo x\in\mathbb{R}^{n} e \langle x,x\rangle = 0 se, e somente se, x=0.

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