Prove as propriedades do Produto Interno enunciadas em aula. Isto é, dados
vetores do
e
prove que:
e
se, e somente se,
.
Passo 1
O enunciado pede para provar duas propriedades do produto interno (produto escalar) no espaço
. Dados
e
, vamos focar nas afirmações específicas que devemos demonstrar:
- Mostrar que
para todo . - Mostrar que
se, e somente se, .
Informações relevantes que temos (definição padrão do produto interno no
):
- Se
e então
- Em particular,
Passo 2
Lembrete importante sobre números reais (uma pequena “aula” necessária aqui):
- Para qualquer número real
vale . Isso decorre do fato de que o quadrado de um real é sempre não negativo (se então ; se então e ). - Além disso,
se, e somente se, . Ou seja, o único número real cujo quadrado é zero é o zero.
Essas duas observações simples sobre quadrados são a base do argumento para vetores: coordenadas ao quadrado são não negativas e só podem ser zero se a coordenada for zero.
Passo 3
Calcular explicitamente
usando a definição:
Cada termo
é um quadrado de número real, portanto por Passo 2 temos
para todo
. Como soma de números não negativos é não negativa, concluímos imediatamente que
Isto prova a primeira parte:
para todo
.
Passo 4
Agora provamos a parte “se, e somente se” sobre anularidade.
Primeiro, a direção fácil: se
então todas as coordenadas
. Assim
Portanto
implica
.
Segundo, a direção converse: suponha
. Então
Mas por Passo 2 cada termo
é
. A única maneira de uma soma de números não negativos ser igual a zero é que cada termo da soma seja zero. Logo, para todo
temos
, o que implica
. Assim todas as coordenadas são zero e
, isto é,
.
Isso prova que
implica
.
Passo 5
Juntando as duas direções do Passo 4 e a desigualdade do Passo 3, obtemos exatamente as propriedades pedidas:
-
para todo . -
se, e somente se, .
Uma observação final para te animar: essa propriedade é a que garante que a expressão
define uma norma (o comprimento) no espaço
. É por isso que
ser não negativa e somente zero no vetor nulo é tão importante.