Demostre que E^{2}=p^{2} c^{2}+m^{2} c^{4}.
20. Fissão do urânio: Reatores de usinas nucleares produzem energia via fissão nuclear. Por exemplo, para o U^{235} sofre a fissão nuclear (quebra do núcleo ou decaimento), através da seguinte reação:
\mathrm{n}_{0}^{1}+\mathrm{U}_{92}^{235} \rightarrow \mathrm{U}_{92}^{236} \rightarrow \mathrm{Ba}_{56}^{141}+\mathrm{Kr}_{36}^{92}+3 \mathrm{n}_{0}^{1}
Em unidades de massa atômicas temos : m\left(\mathrm{U}^{236}\right)=236,045568006 \mathrm{u} ; m\left(\mathrm{Ba}^{141}\right)= 140,914411009 \mathrm{u} ; m\left(\mathrm{Kr}^{92}\right)=91,92615621 \mathrm{u} e m( neutron )=1,00866491588 \mathrm{u}
A diferença entre as massas do estado inicial e final é:
\begin{gathered} \Delta m=m_{\text {inicial }}-m_{\text {final }}=m\left(\mathrm{U}^{236}\right)-\left[m\left(\mathrm{Ba}^{141}\right)+m\left(\mathrm{Kr}^{92}\right)+3 m(\text { neutron })\right] \\\ \Delta m \approx 0,1809 \mathrm{u} \end{gathered}
onde 1 u=1,66010^{-27} \mathrm{~kg}.
A energia para aumentar a temperatura de um corpo pode ser analisada pela calorimetria:
Q=m c \Delta T
onde m é a massa do corpo, c o calor específico e T a temperatura. Para a água temos que a densidade volumétrica é \rho \sim 997 K g / m^{3} e c \sim 1 c a l / g C. Para elever a temperatura de 1 L de água em 1^{\circ} \mathrm{C} é necessário ceder 4200 J de energia.
Supondo que toda a diferença de energia entre os estados inicial e final em fissões de átomos de urânio é cedido para um reservatório de água de 1L, quantos átomos precisam ser fissionados para aquecer o reservatório de água que está a 10^{\circ} \mathrm{C} à 90^{\circ} \mathrm{C} ? (Resp: \approx 12,43.10^{16} átomos)

Passo 1

O problema tem duas partes. Primeiro, pede para demonstrar a relação relativística entre energia, momento linear e massa, ou seja
E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}
em que E é a energia total, p é o momento linear e m a massa de repouso de uma partícula. Para isso vamos usar as definições relativísticas
E=\gamma\,m\,c^{2},\quad p=\gamma\,m\,v,
com \gamma=1/\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}.
Em seguida, há um problema de fissão do urânio em que calculamos a energia liberada por átomo e a usamos em calorimetria para elevar a temperatura de 1,L de água de 10^\circ\mathrm{C} a 90^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Aplicamos as definições relativísticas de energia e momento. Escrevemos
E^{2}=(\gamma\,m\,c^{2})^{2}=\gamma^{2}\,m^{2}\,c^{4},
e
p^{2}c^{2}=(\gamma\,m\,v)^{2}c^{2}=\gamma^{2}\,m^{2}\,v^{2}\,c^{2}.
Como \gamma^{2}=1/(1-v^{2}/c^{2}), subtraímos p^{2}c^{2} de E^{2}:
E^{2}-p^{2}c^{2} =\gamma^{2}m^{2}c^{4}-\gamma^{2}m^{2}v^{2}c^{2} =\gamma^{2}m^{2}c^{2}(c^{2}-v^{2}) =\gamma^{2}m^{2}c^{2}\,c^{2}(1-v^{2}/c^{2}) =m^{2}c^{4}.
Rearranjando, obtemos a identidade
E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}.

Passo 3

Agora ao problema da fissão. A diferença de massa entre estado inicial e final é
\Delta m =m(\mathrm{U}^{236})-\bigl[m(\mathrm{Ba}^{141})+m(\mathrm{Kr}^{92})+3\,m(\text{n})\bigr] \approx0,1809\;\mathrm{u}.
Convertendo para quilograma usando 1\,\mathrm{u}=1,660\times10^{-27}\,\mathrm{kg},
\Delta m \approx0,1809\times1,660\times10^{-27}\,\mathrm{kg} \approx3,005\times10^{-28}\,\mathrm{kg}.

Passo 4

A energia liberada por uma fissão é dada por \Delta E=\Delta m\,c^{2}. Com c=3,0\times10^{8}\,\mathrm{m/s},
\Delta E \approx3,005\times10^{-28}\times(3,0\times10^{8})^{2}\,\mathrm{J} \approx2,70\times10^{-11}\,\mathrm{J\;(por\,fissão)}.ã

Passo 5

Para aquecer 1,L de água de 10^\circ\mathrm{C} a 90^\circ\mathrm{C} temos \Delta T=80^\circ\mathrm{C}. Como para aumentar 1,L em 1^\circ\mathrm{C} são necessários 4200,J, então
Q =4200\,\mathrm{J/^\circ C}\times80^\circ\mathrm{C} =3,36\times10^{5}\,\mathrm{J}.

Passo 6

O número de átomos fissionados é
N =\frac{Q}{\Delta E} =\frac{3,36\times10^{5}}{2,70\times10^{-11}} \approx1,24\times10^{17}.

Resposta

A demonstração leva a
E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}.
Para a fissão do urânio, são necessários aproximadamente
N\approx1,24\times10^{17}
átomos (ou 12,43\times10^{16} átomos) para aquecer de 10^\circ\mathrm{C} a 90^\circ\mathrm{C} 1,L de água.

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