Demostre convergência do algoritmo iterativo com a função de iteração
\varphi(x)=\cos \left(\frac{x}{2}\right)-1 .
Qual equação resolve este algoritmo?
Passo 1
O enunciado dá a função de iteração
\varphi(x)=\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)-1
e pede duas coisas: demonstrar a convergência do algoritmo iterativo cuja iteração é feita por x_{n+1}=\varphi(x_n) e responder qual equação esse algoritmo resolve. Informações relevantes: a fórmula explícita de \varphi está dada; não há restrição explícita do intervalo inicial, então devemos considerar x_0 arbitrário (ou, no mínimo, raciocinar sobre um intervalo invariável).
Passo 2
O que significa “o algoritmo resolve uma equação”? Significa que o ponto limite x^* (se existir) satisfaz a equação do ponto fixo
x = \varphi(x).
Essa é a equação que o método de iteração de ponto-fixo tenta resolver. Substituindo a \varphi dada, a equação que procuramos é
x = \cos\!\left(\frac{x}{2}\right)-1,
ou equivalentemente
\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)-1-x=0.
No final, essa será a resposta pedida; agora vamos provar que a iteração converge para o único ponto fixo.
Passo 3
Calcule a derivada de \varphi (usaremos isto para estudar se \varphi é uma contração). Derivando,
Explique o que isso significa: a derivada \varphi'(x) informa a taxa local de variação de \varphi. Para testar se \varphi é contração, precisamos de um L<1 tal que |\varphi'(x)|\le L para todos x no domínio considerado.
Passo 4
Avalie o módulo da derivada e encontre um cota global. Como |\sin(t)|\le 1 para todo t, temos
Portanto a constante L=\tfrac{1}{2} é um cotapara |\varphi'(x)|. Observação importante: essa desigualdade vale para todo x\in\mathbb{R}, então \varphi tem derivada limitada por 1/2 globalmente.
Passo 5
Use o Teorema do Ponto Fixo de Banach (Teorema da Contração). Vou enunciá-lo de forma simples e intuitiva: se uma função \varphi mapeia um espaço completo (como \mathbb{R} com a distância usual) em si mesma e existe L<1 tal que
|\varphi(x)-\varphi(y)|\le L|x-y|
para todos x,y, então \varphi tem um único ponto fixo x^* e a iteração x_{n+1}=\varphi(x_n) converge para x^* para qualquer x_0. Além disso, a convergência é linear com fator L. Agora mostramos que as hipóteses do teorema são satisfeitas: \mathbb{R} é completo e, pelo passo anterior, \varphi satisfaz a desigualdade de Lipschitz com L=\tfrac{1}{2}<1. Logo, \varphi é uma contração global.
Passo 6
Conclua existência, unicidade e taxa de convergência. Pelo teorema de Banach, existe único x^*\in\mathbb{R} tal que
Para qualquer inicial x_0\in\mathbb{R} a sequência x_{n+1}=\varphi(x_n) converge para x^*. Além disso, temos o estimador de erro (rápido e útil na prova): usando a constante de Lipschitz L=\tfrac{1}{2},
Isto diz que o erro é reduzido por metade a cada iteração (convergência linear com razão 1/2).
Passo 7
Complemento prático e verificação de mapeamento para um intervalo invariável (opcional mas didático). Note que \cos(t)\in[-1,1] para todo t, então \varphi(x)=\cos(x/2)-1\in[-2,0] para todo x. Logo \varphi(\mathbb{R})\subset[-2,0] e \varphi também mapeia o intervalo [-2,0] em si (verifique: se x\in[-2,0] então x/2\in[-1,0] e \cos(x/2)\in[\cos(0),\cos(-1)]=[1,\cos(1)]\subset(0,1], então \varphi(x)\in(-1,0]\subset[-2,0]). Assim, além da contração global, existe um intervalo compacto invariável onde a iteração permanece, o que dá segurança prática ao usar x_0 arbitrário (rapidamente a sequência entra em [-2,0] e fica aí).