1. Determine equação da reta mais próxima ao gráfico y=x^{3}+3 no intervalo [-1,1].

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{3}+3 definida no intervalo [-1,1] e pede a equação da reta mais próxima ao gráfico dessa função nesse intervalo.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A função: \;f(x)=x^{3}+3.
  • O intervalo onde queremos a reta mais próxima: \;[-1,1].
  • O que se pede: encontrar a equação da reta (da forma y=ax+b) que é “mais próxima” do gráfico de f em [-1,1].

Passo 2

Escolha do método (por que usar este método): vou interpretar “reta mais próxima” como a reta que minimiza o erro quadrático vertical médio entre a função e a reta no intervalo, ou seja, a reta que minimiza a integral do quadrado da diferença
\int_{-1}^{1}\bigl(f(x)-(ax+b)\bigr)^{2}\,dx.
Esse é o critério de mínimos quadrados (norma L^{2}) e é o método padrão quando se pede “reta mais próxima” a um gráfico em um intervalo sem outra especificação. Ele tem uma interpretação geométrica simples: projetar f no subespaço das funções lineares dentro do espaço L^{2}([-1,1]). Vou usar esse método porque é o mais comum e dá um sistema linear simples para a e b.

Passo 3

Formulação do problema de minimização e condições normais: definimos a função erro
E(a,b)=\int_{-1}^{1}\bigl(f(x)-(ax+b)\bigr)^{2}\,dx.
Queremos encontrar a e b que minimizam E. Para isso impomos as condições de estacionaridade (derivadas parciais nulas):
\frac{\partial E}{\partial a}=0,\qquad \frac{\partial E}{\partial b}=0.
Calculando as derivadas (regra da cadeia e trocar derivada com integral é permitido aqui), obtemos as equações normais
-2\int_{-1}^{1}x\bigl(f(x)-ax-b\bigr)\,dx=0, \qquad -2\int_{-1}^{1}\bigl(f(x)-ax-b\bigr)\,dx=0.
Simplificando os sinais, as equações ficam
\int_{-1}^{1}x\,f(x)\,dx - a\int_{-1}^{1}x^{2}\,dx - b\int_{-1}^{1}x\,dx = 0,
\int_{-1}^{1}f(x)\,dx - a\int_{-1}^{1}x\,dx - b\int_{-1}^{1}1\,dx = 0.
Essas são duas equações lineares em a e b. Agora precisamos calcular os integrais envolvidos.

Passo 4

Cálculo dos integrais necessários — uso de paridade (funções pares e ímpares) para simplificar: escrevemos f(x)=x^{3}+3. Observações úteis sobre paridade:
  • x^{3} é função ímpar, então \int_{-1}^{1}x^{3}\,dx=0.
  • A constante 3 é função par, então \int_{-1}^{1}3\,dx = 3\cdot(1-(-1))=3\cdot 2=6.
  • x é ímpar, x^{2} e x^{4} são pares.
Agora os integrais:
  1. \displaystyle \int_{-1}^{1} f(x)\,dx = \int_{-1}^{1} (x^{3}+3)\,dx = \int_{-1}^{1} x^{3}\,dx + \int_{-1}^{1} 3\,dx = 0 + 6 = 6.
  2. \displaystyle \int_{-1}^{1} x\,f(x)\,dx = \int_{-1}^{1} x(x^{3}+3)\,dx = \int_{-1}^{1} x^{4}\,dx + 3\int_{-1}^{1} x\,dx.
    Aqui \int_{-1}^{1} x\,dx = 0 (ímpar), e
\int_{-1}^{1} x^{4}\,dx = 2\int_{0}^{1} x^{4}\,dx = 2\cdot\frac{1}{5}=\frac{2}{5}.
Portanto
\int_{-1}^{1} x\,f(x)\,dx = \frac{2}{5} + 3\cdot 0 = \frac{2}{5}.
  1. \displaystyle \int_{-1}^{1} x^{2}\,dx = 2\int_{0}^{1} x^{2}\,dx = 2\cdot\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.
  2. \displaystyle \int_{-1}^{1} x\,dx = 0.
  3. \displaystyle \int_{-1}^{1} 1\,dx = 2.
Resumo dos valores (úteis para montar as equações):
\int_{-1}^{1} f(x)\,dx = 6,\qquad \int_{-1}^{1} x\,f(x)\,dx = \frac{2}{5},\qquad \int_{-1}^{1} x^{2}\,dx = \frac{2}{3},\qquad \int_{-1}^{1} x\,dx = 0,\qquad \int_{-1}^{1}1\,dx=2.

Passo 5

Montagem das equações normais com os valores calculados: substituindo nos dois resultados do Passo 3 temos
Primeira equação (derivada em relação a a):
\int_{-1}^{1} x\,f(x)\,dx - a\int_{-1}^{1} x^{2}\,dx - b\int_{-1}^{1} x\,dx = 0
que fica
\frac{2}{5} - a\cdot\frac{2}{3} - b\cdot 0 = 0.
Segunda equação (derivada em relação a b):
\int_{-1}^{1} f(x)\,dx - a\int_{-1}^{1} x\,dx - b\int_{-1}^{1}1\,dx = 0
que fica
6 - a\cdot 0 - b\cdot 2 = 0.

Passo 6

Resolução do sistema para encontrar a e b:
Da primeira equação:
\frac{2}{5} - a\cdot\frac{2}{3} = 0 \quad\Longrightarrow\quad a\cdot\frac{2}{3} = \frac{2}{5} \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{\tfrac{2}{5}}{\tfrac{2}{3}} = \frac{2}{5}\cdot\frac{3}{2} = \frac{3}{5}.
Da segunda equação:
6 - 2b = 0 \quad\Longrightarrow\quad b = 3.
Portanto os coeficientes da reta são a=\dfrac{3}{5} e b=3.

Passo 7

Escrevendo a equação da reta mais próxima: a reta procurada é
y = \frac{3}{5}x + 3.
Breto final: observe que b=3 coincide com f(0)=3, o que faz sentido porque o termo ímpar x^{3} tem média zero no intervalo simétrico [-1,1], então o ajuste conserva a média em x=0.

Resposta

y=\dfrac{3}{5}x+3

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