- Determine equação da reta mais próxima ao gráfico
no intervalo
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida no intervalo
e pede a equação da reta mais próxima ao gráfico dessa função nesse intervalo.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A função:
- O intervalo onde queremos a reta mais próxima:
- O que se pede: encontrar a equação da reta (da forma
) que é “mais próxima” do gráfico de em .
Passo 2
Escolha do método (por que usar este método): vou interpretar “reta mais próxima” como a reta que minimiza o erro quadrático vertical médio entre a função e a reta no intervalo, ou seja, a reta que minimiza a integral do quadrado da diferença
Esse é o critério de mínimos quadrados (norma
) e é o método padrão quando se pede “reta mais próxima” a um gráfico em um intervalo sem outra especificação. Ele tem uma interpretação geométrica simples: projetar
no subespaço das funções lineares dentro do espaço
. Vou usar esse método porque é o mais comum e dá um sistema linear simples para
e
.
Passo 3
Formulação do problema de minimização e condições normais: definimos a função erro
Queremos encontrar
e
que minimizam
. Para isso impomos as condições de estacionaridade (derivadas parciais nulas):
Calculando as derivadas (regra da cadeia e trocar derivada com integral é permitido aqui), obtemos as equações normais
Simplificando os sinais, as equações ficam
Essas são duas equações lineares em
e
. Agora precisamos calcular os integrais envolvidos.
Passo 4
Cálculo dos integrais necessários — uso de paridade (funções pares e ímpares) para simplificar: escrevemos
. Observações úteis sobre paridade:
-
é função ímpar, então . - A constante
é função par, então . -
é ímpar, e são pares.
Agora os integrais:
-
-
Aqui(ímpar), e
Portanto
Resumo dos valores (úteis para montar as equações):
Passo 5
Montagem das equações normais com os valores calculados: substituindo nos dois resultados do Passo 3 temos
Primeira equação (derivada em relação a
):
que fica
Segunda equação (derivada em relação a
):
que fica
Passo 6
Resolução do sistema para encontrar
e
:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Portanto os coeficientes da reta são
e
.
Passo 7
Escrevendo a equação da reta mais próxima: a reta procurada é
Breto final: observe que
coincide com
, o que faz sentido porque o termo ímpar
tem média zero no intervalo simétrico
, então o ajuste conserva a média em
.