Demostre a equação de Compton. Explique as considerações necessárias para o procedimento ( E_{0}=m c^{2} é a energia de repouso do elétron e E^{2}=E_{0}^{2}+p^{2} c^{2} é a expressão para energia total relativistica de uma partícula com energia de repouso E_{0} e momento linear p ).

Passo 1

O que o enunciado pede: demonstrar a equação de Compton, isto é, obter a relação entre o deslocamento de comprimento de onda do fóton espalhado e o ângulo de espalhamento.
Informações e dados fornecidos (vou listar tudo que vamos usar, exatamente como foi dado):
  • A energia de repouso do elétron é E_{0}=m c^{2}.
  • A expressão relativística para a energia total de uma partícula é E^{2}=E_{0}^{2}+p^{2} c^{2}, onde E é a energia total, E_{0} é a energia de repouso, p é o momento linear e c é a velocidade da luz.
  • No processo de espalhamento de Compton consideramos um fóton incidente de comprimento de onda \lambda que, após colidir com um elétron inicialmente em repouso, sai com comprimento de onda \lambda' formando um ângulo \theta em relação à direção inicial. O elétron sai com energia e momento finais que não conhecemos diretamente.
    Observações importantes que já estão implícitas e que usaremos: o fóton tem energia h\nu e momento \dfrac{h\nu}{c} (ou, em termos de comprimento de onda, energia \dfrac{hc}{\lambda} e momento \dfrac{h}{\lambda} ), o elétron inicial está em repouso (momento inicial zero) e vamos aplicar conservação de energia e conservação do momento linear.

Passo 2

Conceitos básicos que vamos usar (explicados de forma direta e sem pular etapas):
  • Fóton: não tem massa de repouso, sua energia é \,E_{\gamma}=h\nu, (onde h é a constante de Planck e \nu a frequência) e seu momento linear tem módulo \,p_{\gamma}=E_{\gamma}/c = h\nu / c. Em termos de comprimento de onda \lambda temos \nu=c/\lambda e, portanto, E_{\gamma}=\dfrac{hc}{\lambda} e p_{\gamma}=\dfrac{h}{\lambda}.
  • Elétron relativístico: a relação energia-momento é a que você deu, isto é, para o elétron final (energia total E_{e} e momento \vec p_{e}) vale
E_{e}^{2} = (m c^{2})^{2} + p_{e}^{2} c^{2}.
Aqui m é a massa de repouso do elétron, p_{e} é o módulo do momento linear do elétron final.
  • Conservação: em colisões (isoladas) aplicamos conservação da energia total e conservação do momento vetorial total. Essas são as únicas leis físicas que precisamos aqui.

Passo 3

Escrevendo a conservação da energia para o processo (fóton incidente + elétron em repouso → fóton espalhado + elétron):
o fóton incidente tem energia h\nu, o elétron inicial tem energia de repouso m c^{2}. Após o choque o fóton tem energia h\nu' e o elétron tem energia total E_{e}. Assim
h\nu + m c^{2} = h\nu' + E_{e}.
Explico cada termo: h\nu é energia do fóton antes, m c^{2} é energia de repouso do elétron antes (momento zero), h\nu' é energia do fóton após espalhar, e E_{e} é a energia total (relativística) do elétron após o choque.

Passo 4

Escrevendo a conservação do momento linear vetorial. Escolho um sistema de eixos conveniente: o fóton incidente vem na direção x. Então os momentos vetoriais têm componentes: momento inicial do fóton \vec p = \dfrac{h\nu}{c}\,\hat{\mathbf{x}}. O fóton espalhado sai com módulo \dfrac{h\nu'}{c} fazendo ângulo \theta com o eixo x; seu vetor momento é \dfrac{h\nu'}{c}(\cos\theta\,\hat{\mathbf{x}}+\sin\theta\,\hat{\mathbf{y}}). O elétron final tem momento \vec p_{e} (desconhecido em magnitude e direção). Pela conservação vetorial:
\vec p_{e} = \vec p - \vec p\,'.
Tomando o módulo ao quadrado (para eliminar a direção do momento do elétron), usamos a identidade |\vec a-\vec b|^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\varphi, onde \varphi é o ângulo entre \vec a e \vec b. Aqui o ângulo entre \vec p e \vec p\,' é exatamente \theta. Então o quadrado do módulo do momento do elétron é
p_{e}^{2} = \left(\dfrac{h\nu}{c}\right)^{2} + \left(\dfrac{h\nu'}{c}\right)^{2} - 2\left(\dfrac{h\nu}{c}\right)\left(\dfrac{h\nu'}{c}\right)\cos\theta.
Multiplicando por c^{2} (porque na relação energia-momento aparece p_{e}^{2} c^{2}) obtemos
p_{e}^{2} c^{2} = (h\nu)^{2} + (h\nu')^{2} - 2 h^{2} \nu \nu' \cos\theta.

Passo 5

Agora usamos a relação relativística de energia do elétron final. A partir do Passo 3 temos uma expressão para E_{e}:
E_{e} = m c^{2} + h\nu - h\nu'.
Elevar ambos os lados ao quadrado (vou desenvolver com cuidado) dá
E_{e}^{2} = (m c^{2})^{2} + 2 m c^{2}(h\nu - h\nu') + (h\nu - h\nu')^{2}.
Por outro lado, a relação energia-momento do elétron (Passo 2) diz
E_{e}^{2} = (m c^{2})^{2} + p_{e}^{2} c^{2}.
Igualando as duas expressões para E_{e}^{2} cancelamos (m c^{2})^{2} dos dois lados e obtemos
2 m c^{2}(h\nu - h\nu') + (h\nu - h\nu')^{2} = p_{e}^{2} c^{2}.

Passo 6

Substituímos em p_{e}^{2} c^{2} a expressão obtida no Passo 4. Assim
2 m c^{2}(h\nu - h\nu') + (h\nu - h\nu')^{2} = (h\nu)^{2} + (h\nu')^{2} - 2 h^{2} \nu \nu' \cos\theta.
Agora faço a álgebra com cuidado para simplificar. Expando o quadrado à esquerda:
(h\nu - h\nu')^{2} = (h\nu)^{2} - 2 h^{2} \nu \nu' + (h\nu')^{2}.
Substituindo na igualdade e cancelando termos iguais dos dois lados ( (h\nu)^{2} e (h\nu')^{2} aparecem em ambos os lados), obtemos
2 m c^{2}(h\nu - h\nu') - 2 h^{2} \nu \nu' = - 2 h^{2} \nu \nu' \cos\theta.
Passe o termo com -2 h^{2}\nu\nu' para o outro lado:
2 m c^{2}(h\nu - h\nu') = 2 h^{2} \nu \nu' (1 - \cos\theta).
Agora divido ambos os lados por 2 h \nu \nu' (fazendo as divisões com cuidado):
m c^{2}\,\dfrac{\nu - \nu'}{\nu \nu'} = h (1 - \cos\theta).
Note que \dfrac{\nu - \nu'}{\nu \nu'} = \dfrac{1}{\nu'} - \dfrac{1}{\nu}. Portanto
\dfrac{1}{\nu'} - \dfrac{1}{\nu} = \dfrac{h}{m c^{2}}(1 - \cos\theta).

Passo 7

Converter para comprimentos de onda: usamos \nu = c/\lambda e \nu' = c/\lambda'. Então \dfrac{1}{\nu'} - \dfrac{1}{\nu} = \dfrac{\lambda' - \lambda}{c}. Substituindo na expressão do Passo 6:
\dfrac{\lambda' - \lambda}{c} = \dfrac{h}{m c^{2}}(1 - \cos\theta).
Multiplicando ambos os lados por c resulta na fórmula final clássica de Compton:
\lambda' - \lambda = \dfrac{h}{m c}\,(1 - \cos\theta).
Explicação física rápida dessa forma: o termo \dfrac{h}{m c} é a chamada “comprimento de onda de Compton” do elétron (constante para uma dada massa m); o fator (1-\cos\theta) dá a dependência angular do deslocamento — quando \theta=0 (espalhamento frontal) não há mudança de comprimento de onda; quando \theta=\pi (retroespalhamento) o deslocamento é máximo e igual a 2h/(m c).

Resposta

\lambda' - \lambda = \dfrac{h}{m c}\,(1 - \cos\theta)

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