Um fóton com comprimento de onda \lambda_{o} sofre uma colisão Compton e é espalhado para trás em sentido contrário ao incidente. Em seguida este fóton incide sobre uma placa de sódio, onde ocorre efeito fotoelétrico. O fotoelétron emitido tem velocidade desprezível. Sabendo que a função trabalho do sódio é 2,1 \mathrm{eV}, calcular \lambda_{o}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede para encontrar \lambda_{o}:
  • Um fóton com comprimento de onda \lambda_{o} sofre espalhamento Compton e é espalhado para trás (sentido contrário ao incidente), ou seja, ângulo de espalhamento \theta=180^\circ.
  • O fóton espalhado incide numa placa de sódio e provoca efeito fotoelétrico. O fotoelétron emitido tem velocidade desprezível (energia cinética praticamente zero).
  • A função trabalho do sódio é \varphi=2{,}1\\ \mathrm{eV}.
  • Precisamos determinar \lambda_{o} a partir dessas informações.
As quantidades relevantes que usaremos: constante de Planck h, velocidade da luz c, massa do elétron m, e a relação entre energia e comprimento de onda do fóton.

Passo 2

Entendendo o espalhamento Compton (aulas mastigadas):
  • No espalhamento Compton, a mudança de comprimento de onda do fóton é dada por
\Delta \lambda=\lambda' - \lambda_{o}=\frac{h}{m c}\,(1-\cos\theta),
onde \lambda_{o} é o comprimento de onda incidente, \lambda' é o comprimento de onda após o espalhamento, h é a constante de Planck, m é a massa do elétron, c é a velocidade da luz, e \theta é o ângulo de espalhamento (medido entre direções incidente e espalhada).
  • No nosso caso \theta=180^\circ, então \cos\theta=-1 e 1-\cos\theta=2. Logo
\Delta \lambda=2\frac{h}{m c}=2\lambda_C,
onde \lambda_C=\dfrac{h}{m c} é o comprimento de onda de Compton do elétron.
  • Agora calculamos \lambda_C. Usando valores fundamentais:
h=6{,}62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s},\quad m=9{,}10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg},\quad c=2{,}99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m/s},
temos
\lambda_C=\frac{h}{m c}\approx 2{,}426310238\times10^{-12}\\ \mathrm{m}.
Portanto
2\lambda_C\approx 4{,}852620476\times10^{-12}\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Relacionando \lambda_{o} e \lambda' pelo Compton:
\lambda'=\lambda_{o}+2\lambda_C.
Esse resultado é direto: o fóton aumenta seu comprimento de onda em 2\lambda_C quando espalhado para trás.

Passo 4

Entendendo o efeito fotoelétrico aplicado aqui:
  • A equação do efeito fotoelétrico de Einstein é
E_{\text{fóton}}=\varphi + K_{\max},ó
onde E_{\text{fóton}}ó é a energia do fóton incidente na superfície, \varphi é a função trabalho e K_{\max} é a energia cinética máxima do elétron emitido.
  • No problema foi dito que o fotoelétron tem velocidade desprezível, ou seja K_{\max}\approx0. Assim a energia do fóton espalhado que chega ao sódio satisfaz
E'=\varphi.
  • A energia de um fóton está relacionada com seu comprimento de onda por
E'=\frac{h c}{\lambda'}.
Portanto
\lambda'=\frac{h c}{\varphi}.

Passo 5

Calculemos numericamente \lambda' usando \varphi=2{,}1\\ \mathrm{eV}. É prático usar h c em unidades convenientes: h c\approx1240\\ \mathrm{eV\cdot nm}. Assim
\lambda'=\frac{1240\\ \mathrm{eV\cdot nm}}{2{,}1\\ \mathrm{eV}} \approx 590{,}476190476\\ \mathrm{nm}.
Convertendo para metros:
\lambda'\approx 5{,}90476190476\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Agora voltamos à relação da Passo 3 e isolamos \lambda_{o}:
\lambda_{o}=\lambda' - 2\lambda_C.
Substituindo os valores numéricos já calculados:
\lambda_{o}\approx 5{,}90476190476\times10^{-7}\\ \mathrm{m} - 4{,}852620476\times10^{-12}\\ \mathrm{m}.
Fazendo a subtração (atenção que o termo subtraído é muito pequeno, porque \lambda_C é da ordem de 10^{-12}\\ \mathrm{m}):
\lambda_{o}\approx 5{,}90471337856\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
Em unidades mais familiares:
\lambda_{o}\approx 590{,}471337856\\ \mathrm{nm}.

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida (estou torcendo por você!):
  • A diferença entre \lambda' e \lambda_{o} é muito pequena porque o deslocamento Compton é muito pequeno (ordem de 10^{-12}\\ \mathrm{m}) comparado ao comprimento de onda visível (ordem de 10^{-7}\\ \mathrm{m}). Faz sentido físico.
  • Portanto o valor encontrado é consistente: o fóton original tinha comprimento de onda praticamente igual ao requerido para liberar elétron de sódio após sofrer o pequeno aumento devido ao espalhamento Compton para trás.

Resposta

\lambda_{o}\approx 5{,}90471337856\times10^{-7}\\ \mathrm{m}
\lambda_{o}\approx 590{,}471337856\\ \mathrm{nm}

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