Num experimento do efeito fotoelétrico temos um material cuja função trabalho é w_{0}. Consideremos que sobre esse material incida um fóton emitido por um corpo negro que se encontra a uma temperatura T_{0} e tem comprimento de onda correspondente ao máximo da radiância espectral. Encontre o momento máximo que pode ter o fotoelétron arrancado (usar energias relativística).
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa precisa:
Dado: função trabalho do material \;w_{0}.
Dado: corpo negro à temperatura \;T_{0} que emite fótons. O fóton incidente tem o comprimento de onda correspondente ao máximo da radiância espectral por comprimento de onda.
Constantes físicas que vamos usar: constante de Planck \;h, velocidade da luz \;c, massa do elétron \;m_{e}. A constante de deslocamento de Wien para máximo em função do comprimento de onda é \;b (valor numérico: \;b\approx 2{,}898\times10^{-3}\,\mathrm{m\cdot K}).
Pedido: encontrar o momento máximo que pode ter o fotoelétron arrancado, usando energia relativística.
Observação importante extraída do enunciado: estamos a considerar o máximo possível do momento (isto corresponde ao elétron que sai com máxima energia cinética). Se a energia do fóton for menor ou igual à função trabalho, não há emissão.
Passo 2
Identificar o comprimento de onda do fóton incidente (o pico da radiância por comprimento de onda).
A lei de Wien (para o máximo da radiância espectral em função de comprimento de onda) diz:
\lambda_{\max} \, T_{0} = b.
Portanto o comprimento de onda do fóton é
\lambda_{\max}=\frac{b}{T_{0}}.
Explicação curta: essa lei diz que o produto do comprimento de onda onde a irradiância por comprimento de onda é máxima pelo valor da temperatura é constante e igual a b. É uma relação empírica/teórica do corpo negro.
Passo 3
Calcular a energia do fóton que incide sobre o material.
A relação de Planck para energia de fóton em função do comprimento de onda é
E_{\text{fóton}}=\frac{h c}{\lambda}.
Substituindo \lambda=\lambda_{\max} obtemos
E_{\text{ph}} \equiv E_{\text{fóton}}=\frac{h c}{\lambda_{\max}}=\frac{h c T_{0}}{b}.
Explicação: cada fóton tem energia proporcional a 1/\lambda, com constante de proporcionalidade h c. Ao usar \lambda_{\max} pegamos a energia do fóton no pico da distribuição.
Passo 4
Aplicar a conservação de energia para o efeito fotoelétrico (Lei de Einstein do efeito fotoelétrico).
A forma clássica do enunciado é: a energia do fóton é gasta para vencer a função trabalho e, o que sobra, vira energia cinética máxima do elétron:
K_{\max}=E_{\text{ph}}-w_{0}.
Condição necessária para emissão: \;E_{\text{ph}}>w_{0}. Se \;E_{\text{ph}}\le w_{0}, não há fotoelétron arrancado.
Explicação: o elétron que sai com maior energia cinética corresponde ao elétron que teve menor perda extra (por exemplo, veio da superfície com energia de ligação mínima). Por isso subtrai-se somente w_0.
Passo 5
Relacionar energia cinética relativística e momento.
Na relatividade, a energia total de uma partícula é
E_{\text{tot}}=\gamma m_{e} c^{2},
onde \gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}} e m_{e} é a massa de repouso do elétron.
A energia cinética relativística é
K=E_{\text{tot}}-m_{e}c^{2}=(\gamma-1)m_{e}c^{2}.
A relação energia-momento relativística (invariância relativística) é
E_{\text{tot}}^{2}=(p c)^{2}+(m_{e}c^{2})^{2},
onde p é o momento do elétron.
Queremos expressar p em função de K. Partindo de E_{\text{tot}}=K+m_{e}c^{2} e usando a relação acima:
p c=\sqrt{E_{\text{tot}}^{2}-(m_{e}c^{2})^{2}}=\sqrt{(K+m_{e}c^{2})^{2}-(m_{e}c^{2})^{2}}.
Desenvolvendo:
p c=\sqrt{K^{2}+2K m_{e}c^{2}}.
Assim
p=\frac{1}{c}\sqrt{K^{2}+2K m_{e}c^{2}}.
Explicação passo a passo: substituímos a energia total em termos de K e usamos a identidade quadrática para eliminar E_{\text{tot}}. Isso evita ter que calcular velocidade ou \gamma explicitamente.
Passo 6
Substituir K_{\max}=E_{\text{ph}}-w_{0} na expressão do momento para obter o momento máximo.
Colocando K=K_{\max}=E_{\text{ph}}-w_{0} na fórmula de p:
Explicação: essa é a expressão geral relativística para o momento em função da energia cinética disponível K_{\max}. Note que se E_{\text{ph}}-w_{0} for pequeno comparado a m_{e}c^{2}, a expressão se aproxima da não relativística p\approx\sqrt{2m_{e}K}.
Passo 7
Substituir a expressão de E_{\text{ph}} obtida no Passo 3 para ter o resultado em termos de T_{0}, w_{0} e constantes físicas.
Lembrando E_{\text{ph}}=\dfrac{h c T_{0}}{b}, obtemos
p_{\max}=\frac{1}{c}\sqrt{\left(\frac{h c T_{0}}{b}-w_{0}\right)^{2} +2\left(\frac{h c T_{0}}{b}-w_{0}\right)m_{e}c^{2}}.
Ou, equivalente,
p_{\max}=\sqrt{2m_{e}\!\left(\frac{h c T_{0}}{b}-w_{0}\right) +\frac{\left(\dfrac{h c T_{0}}{b}-w_{0}\right)^{2}}{c^{2}}}.
Condição: esse resultado só é válido se \dfrac{h c T_{0}}{b}>w_{0}. Caso contrário não ocorre emissão e não há momento de fotoelétron.
Resposta
p_{\max}=\frac{1}{c}\sqrt{\left(\frac{h c T_{0}}{b}-w_{0}\right)^{2}+2\left(\frac{h c T_{0}}{b}-w_{0}\right)m_{e}c^{2}}
\text{(válido somente se }\;\dfrac{h c T_{0}}{b}>w_{0}\text{; caso contrário não há emissão).}ááãáã