(a) Demostre qual equação pode ser obtida ao se unir as equações da primeira e segunda leis da termodinâmica. (b) Usar a propriedade das relações de Maxwell na equação obtida, demonstrando a igualdade das derivadas cruzadas.

Passo 1

Beleza, neste exercício vamos (a) combinar a primeira e segunda leis da termodinâmica para achar uma equação fundamental; (b) usar as relações de Maxwell pra mostrar igualdade das derivadas cruzadas. Vamos precisar das formas diferenciais de dU, dS, de<a Q e de<a W.

Passo 2

Começando pela primeira lei em forma diferencial:
dU = de<a Q + de<a W
ta que U é a energia interna, de<a Q é calor e de<a W é trabalho.

Passo 3

Na segunda lei, pro caso reversível, temos:
de<a Qrev = T,dS
onde T é a temperatura e S é a entropia.

Passo 4

O trabalho reversível de expansão é dado por:
de<a Wrev = -P,dV
com P a pressão e V o volume.

Passo 5

Juntando tudo na primeira lei, fica:
dU = T,dS - P,dV
Pronto, essa é a equação que a gente queria no item (a).

Passo 6

Agora pense em U como função de estado U(S,V). Então o diferencial é:
dU = (partial Upartial S)V dS + (partial Upartial V)S dV
Comparando com dU = T,dS - P,dV, identificamos que (partial Upartial S)V = T e (partial Upartial V)S = -P.

Passo 7

Como U(S,V) é suficientemente suave, a gente pode trocar a ordem das derivadas de segunda ordem (teorema de Schwarz). Então:
partialpartial V(partial Upartial S)V = partialpartial S(partial Upartial V)S
Substituindo, dá:
(partial Tpartial V)S = -(partial Ppartial S)V,
o que é a relação de Maxwell que mostra a igualdade das derivadas cruzadas, atendendo ao item (b).

Resposta

a) dU = T,dS - P,dV. b) (partial Tpartial V)S = -(partial Ppartial S)V.

Exercícios relacionados