(a) Demostre qual equação pode ser obtida ao se unir as equações da primeira e segunda leis da termodinâmica. (b) Usar a propriedade das relações de Maxwell na equação obtida, demonstrando a igualdade das derivadas cruzadas.
Passo 1
Beleza, neste exercício vamos (a) combinar a primeira e segunda leis da termodinâmica para achar uma equação fundamental; (b) usar as relações de Maxwell pra mostrar igualdade das derivadas cruzadas. Vamos precisar das formas diferenciais de
,
,
e
.
Passo 2
Começando pela primeira lei em forma diferencial:
ta que
é a energia interna,
é calor e
é trabalho.
Passo 3
Na segunda lei, pro caso reversível, temos:
onde
é a temperatura e
é a entropia.
Passo 4
O trabalho reversível de expansão é dado por:
com
a pressão e
o volume.
Passo 5
Juntando tudo na primeira lei, fica:
Pronto, essa é a equação que a gente queria no item (a).
Passo 6
Agora pense em
como função de estado
. Então o diferencial é:
Comparando com
, identificamos que
e
.
Passo 7
Como
é suficientemente suave, a gente pode trocar a ordem das derivadas de segunda ordem (teorema de Schwarz). Então:
Substituindo, dá:
o que é a relação de Maxwell que mostra a igualdade das derivadas cruzadas, atendendo ao item (b).
Resposta
a)
. b)
.