Denotando por
a função identidade, mostre que para toda função
vale que: Em tempo, isso significa que a função identidade cumpre o papel de elemento neutro da operação de composição de funções.
e
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função identidade, denotada por
, é elemento neutro para a composição de funções, isto é, que para toda função
valem as igualdades
Informações dadas e hipóteses claras que usarei (pegas do enunciado):
- Existe uma função
. Vou escrever explicitamente , isto é, tem domínio e contradomínio . - A função identidade sobre um conjunto
será denotada por e é a função que envia cada elemento de para ele mesmo. - Para que as composições façam sentido uso as identidades
e .
Passo 2
Definição precisa da função identidade: para qualquer conjunto
, a função identidade
é dada por
Explicando de forma simples:
não muda nada — recebe um elemento e devolve exatamente o mesmo elemento.
Passo 3
Definição de composição de funções: se
e
, então a composição
é a função
definida por
Em palavras: primeiro aplica-se
ao argumento
e depois aplica-se
ao resultado
.
Passo 4
O que significa provar que duas funções são iguais: duas funções
são iguais (escreve-se
) quando, para todo
, vale
. Ou seja, domínio e contradomínio coincidem e os valores coincidem ponto a ponto.
Passo 5
Prova de
. Seja
arbitrário. Então, aplicando a definição de composição:
Agora, por definição da identidade
, para qualquer
tem-se
. Como
, substituindo obtemos
Portanto
para todo
. Usando o critério de igualdade ponto a ponto do Passo 4, concluímos que
Passo 6
Prova de
. Seja
arbitrário. Pela definição de composição:
Pela definição da identidade
temos
. Substituindo:
Logo
para todo
, e pelo critério de igualdade isso implica
Passo 7
Um exemplo concreto para fixar a ideia: tome
e
. A identidade em
é
. Então
e
Isto mostra na prática que compor com a identidade não altera a função
. Força aí — isso é útil em prova e em cálculo com funções!
Passo 8
Resumo e interpretação: para qualquer
a identidade em
é neutra à direita e a identidade em
é neutra à esquerda para a operação de composição. Por isso dizemos que a identidade é o elemento neutro da composição de funções.