Denotando por \imath a função identidade, mostre que para toda função f vale que: Em tempo, isso significa que a função identidade cumpre o papel de elemento neutro da operação de composição de funções.
\quad \imath \circ f=f e f \circ \imath=f

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função identidade, denotada por \imath, é elemento neutro para a composição de funções, isto é, que para toda função f valem as igualdades
\imath \circ f = f \qquad\text{e}\qquad f \circ \imath = f.
Informações dadas e hipóteses claras que usarei (pegas do enunciado):
  • Existe uma função f. Vou escrever explicitamente f: A \to B, isto é, f tem domínio A e contradomínio B.
  • A função identidade sobre um conjunto X será denotada por \imath_X e é a função que envia cada elemento de X para ele mesmo.
  • Para que as composições façam sentido uso as identidades \imath_A: A\to A e \imath_B: B\to B.

Passo 2

Definição precisa da função identidade: para qualquer conjunto X, a função identidade \imath_X: X\to X é dada por
\imath_X(x)=x\quad\text{para todo }x\in X.
Explicando de forma simples: \imath_X não muda nada — recebe um elemento e devolve exatamente o mesmo elemento.

Passo 3

Definição de composição de funções: se g: X\to Y e h: Y\to Z, então a composição h\circ g é a função X\to Z definida por
(h\circ g)(x)=h\big(g(x)\big)\quad\text{para todo }x\in X.
Em palavras: primeiro aplica-se g ao argumento x e depois aplica-se h ao resultado g(x).

Passo 4

O que significa provar que duas funções são iguais: duas funções u,v: X\to Y são iguais (escreve-se u=v) quando, para todo x\in X, vale u(x)=v(x). Ou seja, domínio e contradomínio coincidem e os valores coincidem ponto a ponto.

Passo 5

Prova de \imath_B\circ f = f. Seja x\in A arbitrário. Então, aplicando a definição de composição:
(\imath_B\circ f)(x)=\imath_B\big(f(x)\big).
Agora, por definição da identidade \imath_B, para qualquer y\in B tem-se \imath_B(y)=y. Como f(x)\in B, substituindo obtemos
\imath_B\big(f(x)\big)=f(x).
Portanto (\imath_B\circ f)(x)=f(x) para todo x\in A. Usando o critério de igualdade ponto a ponto do Passo 4, concluímos que
\imath_B\circ f = f.

Passo 6

Prova de f\circ \imath_A = f. Seja x\in A arbitrário. Pela definição de composição:
(f\circ \imath_A)(x)=f\big(\imath_A(x)\big).
Pela definição da identidade \imath_A temos \imath_A(x)=x. Substituindo:
f\big(\imath_A(x)\big)=f(x).
Logo (f\circ \imath_A)(x)=f(x) para todo x\in A, e pelo critério de igualdade isso implica
f\circ \imath_A = f.

Passo 7

Um exemplo concreto para fixar a ideia: tome A=\mathbb{R} e f(x)=2x+1. A identidade em \mathbb{R} é \imath_{\mathbb{R}}(x)=x. Então
(\imath_{\mathbb{R}}\circ f)(x)=\imath_{\mathbb{R}}(2x+1)=2x+1=f(x),
e
(f\circ \imath_{\mathbb{R}})(x)=f(\imath_{\mathbb{R}}(x))=f(x)=2x+1.
Isto mostra na prática que compor com a identidade não altera a função f. Força aí — isso é útil em prova e em cálculo com funções!

Passo 8

Resumo e interpretação: para qualquer f: A\to B a identidade em A é neutra à direita e a identidade em B é neutra à esquerda para a operação de composição. Por isso dizemos que a identidade é o elemento neutro da composição de funções.

Resposta

\imath \circ f = f
f \circ \imath = f

Exercícios relacionados