QUESTÃO 2 (8,0 pts) As resistências e as reatâncias de dispersão de um transformador de distribuição com 50 \mathrm{kVA}, 60 \mathrm{~Hz} e 2500 \mathrm{~V}: 250 \mathrm{~V} são:
\mathrm{R}_{1}=0,68 \Omega \quad \mathrm{R}_{2}=0,0068 \Omega \quad \mathrm{X}_{1}=\mathrm{j} 7,8 \Omega \quad \mathrm{X}_{2}=\mathrm{j} 0,078 \Omega
Onde o subscrito 1 denota o enrolamento de 2500 V e o subscrito 2 , o de 250 V . Cada quantidade está referida ao seu próprio lado do transformador. Considere que o transformador esteja entregando sua potência aparente nominal (kVA) a uma carga no lado de baixa tensão de 250 V sobre a carga. Encontre a tensão no terminais de alta tensão para uma carga com fator de potência unitário.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do transformador:
    • Potência aparente nominal S=50\\ \mathrm{kVA}.
    • Frequência 60\\ \mathrm{Hz} (não usada nos cálculos aqui).
    • Tensões nominais: V_1=2500\\ \mathrm{V} (enrolamento 1, alta tensão) e V_2=250\\ \mathrm{V} (enrolamento 2, baixa tensão).
    • Impedâncias referidas a cada enrolamento (cada uma no seu lado): R_1=0{,}68\\ \Omega,\qquad R_2=0{,}0068\\ \Omega,
X_1=\mathrm{j}\,7{,}8\\ \Omega,\qquad X_2=\mathrm{j}\,0{,}078\\ \Omega.
  • O transformador está entregando a potência nominal S ao lado de baixa tensão ( 250\\ \mathrm{V}).
  • A carga tem fator de potência unitário (ou seja, corrente em fase com a tensão do secundário).
  • Pedido: encontrar a tensão nos terminais de alta tensão (magnitude e fase) quando o secundário fornece S=50\\ \mathrm{kVA} a V_2=250\\ \mathrm{V} e PF =1.

Passo 2

Definir razão de espiras e como tratar impedâncias em lados diferentes.
  • A razão de transformação (tensão) é
a=\frac{V_1}{V_2}=\frac{2500}{250}=10.
  • Para somar impedâncias série é conveniente referir tudo a um mesmo lado. Ao referir impedância do lado 1 para o lado 2 (primário para secundário), usa-se a escala a^2:
Z_{1\to 2}=\frac{Z_1}{a^2}.
Explicando isso de forma simples: um elemento no lado de alta tensão visto do lado de baixa tensão “parece” dividido por a^2, porque tensão e corrente se transformam com a e a impedância escala com o quadrado.

Passo 3

Refletir as impedâncias do lado 1 para o lado 2 e calcular a impedância série equivalente no lado de baixa tensão.
  • Calcular a^2:
a^2=10^2=100.
  • Refletindo R_1 e X_1 para o lado 2:
R_{1\to2}=\frac{R_1}{a^2}=\frac{0{,}68}{100}=0{,}0068\\ \Omega,
X_{1\to2}=\frac{X_1}{a^2}=\frac{\mathrm{j}\,7{,}8}{100}=\mathrm{j}\,0{,}078\\ \Omega.
  • Somando com as impedâncias já no lado 2:
Z_{\text{eq,2}}=(R_{1\to2}+R_2)+\bigl(X_{1\to2}+X_2\bigr) = (0{,}0068+0{,}0068)+\mathrm{j}(0{,}078+0{,}078).
  • Portanto
Z_{\text{eq,2}}=0{,}0136+\mathrm{j}\,0{,}156\\ \Omega.

Passo 4

Calcular a corrente no lado de baixa tensão (valor eficaz e ângulo) fornecida pela carga de 50\\ \mathrm{kVA} a 250\\ \mathrm{V} com PF =1.
  • Corrente nominal no secundário:
I_2=\frac{S}{V_2}=\frac{50\,000}{250}=200\\ \mathrm{A}.
  • Como o fator de potência é unitário, a corrente está em fase com a tensão do secundário; portanto, como fasor:
I_2=200\angle 0^\circ\\ \mathrm{A}.

Passo 5

Calcular a queda de tensão complexa sobre a impedância equivalente referida ao lado 2.
  • A queda é
\Delta V=I_2\,Z_{\text{eq,2}}=200\angle 0^\circ\cdot(0{,}0136+\mathrm{j}\,0{,}156).
  • Multiplicando parte real e imaginária:
\Delta V = 200\cdot 0{,}0136 + \mathrm{j}\,200\cdot 0{,}156 =2{,}72 + \mathrm{j}\,31{,}20\\ \mathrm{V}.

Passo 6

A tensão referida ao lado 2 na posição correspondente ao terminal de alta tensão (isto é, a tensão do primário vista/expressa no lado 2) é a soma da tensão no secundário (terminal de baixa) com a queda calculada:
V_{1,\text{ref no 2}}=V_2+\Delta V = 250 + (2{,}72+\mathrm{j}\,31{,}20) =252{,}72+\mathrm{j}\,31{,}20\\ \mathrm{V}.
Aqui V_{1,\text{ref no 2}} significa a tensão do terminal de alta tensão expressa no lado de baixa tensão (isto é, dividida por a).

Passo 7

Refletir de volta para o lado de alta tensão e obter a tensão nos terminais de alta tensão propriamente dita.
  • Multiplica-se por a para voltar ao lado 1:
V_1 = a\;V_{1,\text{ref no 2}} = 10\cdot(252{,}72+\mathrm{j}\,31{,}20) =2527{,}2+\mathrm{j}\,312{,}0\\ \mathrm{V}.
  • Calcular magnitude e ângulo:
    • Magnitude:
    |V_1|=\sqrt{2527{,}2^{2}+312{,}0^{2}} \approx 2546{,}3\\ \mathrm{V}.
    • Ângulo:
    \angle V_1=\arctan\!\left(\frac{312{,}0}{2527{,}2}\right)\approx 7{,}04^\circ.

Passo 8

Interpretação rápida e incentivo: a tensão no primário ficou ligeiramente acima da nominal 2500\\ \mathrm{V} e adiantada em relação à tensão do secundário por causa da queda reativa na impedância do transformador. Bom trabalho — você já tem o procedimento padrão para qualquer verificação de queda de tensão em transformadores: referir impedâncias, calcular corrente, achar queda e refletir de volta.

Resposta

V_1 = 2527{,}2+\mathrm{j}\,312{,}0\\ \mathrm{V} \quad (\text{ou } |V_1|=2546{,}3\angle 7{,}04^\circ\\ \mathrm{V})

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