Para cada par de funções f, g abaixo encontre o domínio e as expressões de f \circ g, f \circ f, g \circ f e g \circ g.
f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x)=x^{3} g:[1, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, \quad g(x)=\sqrt{x-1}

Passo 1

O enunciado dá duas funções e pede o domínio e as fórmulas das composições f\circ g, f\circ f, g\circ f e g\circ g. Vou listar claramente o que temos:
  • A função f está definida por
f: \mathbb{R}\to\mathbb{R},\qquad f(x)=x^{3}.
Informação importante: o domínio de f é \mathbb{R} (todos os reais).
  • A função g está definida por
g:[1,\infty)\to\mathbb{R},\qquad g(x)=\sqrt{x-1}.
Informação importante: o domínio de g é [1,\infty), isto é, g só está definida para x\ge 1.
Perguntas que o enunciado faz:
  • Qual é o domínio de cada composição f\circ g, f\circ f, g\circ f, g\circ g?
  • Qual é a expressão (fórmula) de cada uma dessas composições?

Passo 2

Relembrando a regra geral para domínio de composição: se h=f\circ g, ou seja h(x)=f(g(x)), então o domínio de h é
\{x\in\operatorname{dom}(g)\mid g(x)\in\operatorname{dom}(f)\}.
Ou seja: primeiro x deve estar no domínio de g; segundo, o valor g(x) precisa estar no domínio de f. Vou aplicar exatamente essa regra para cada composição. É a chave: sempre verificar domínio de dentro para fora.

Passo 3

Primeiro a fórmula:
(f\circ g)(x)=f\big(g(x)\big)=f\big(\sqrt{x-1}\big)=\big(\sqrt{x-1}\,\big)^{3}.
Podemos reescrever de forma mais usual como
(f\circ g)(x)=(x-1)^{3/2}.
Agora o domínio: pela regra, precisamos de x\in\operatorname{dom}(g) e g(x)\in\operatorname{dom}(f).
  • Já sabemos \operatorname{dom}(g)=[1,\infty), então x\ge 1.
  • E f tem domínio \mathbb{R}, isto é, aceita qualquer número real; portanto qualquer g(x) real é aceito por f.
Logo o único requisito é x\in[1,\infty). Portanto
\operatorname{dom}(f\circ g)=[1,\infty).
Observação didática rápida: embora (x-1)^{3/2} só faça sentido real para x\ge1 (porque a raiz quadrada exige x-1\ge0), essa é exatamente a condição que já vem do domínio de g.

Passo 4

Fórmula:
(f\circ f)(x)=f\big(f(x)\big)=f\big(x^{3}\big)=\big(x^{3}\big)^{3}=x^{9}.
Domínio: \operatorname{dom}(f)=\mathbb{R}. Para f\circ f precisamos que x\in\operatorname{dom}(f) (isto é, x real) e que f(x)\in\operatorname{dom}(f) (isto é, x^{3} real). Mas x^{3} é real para todo x\in\mathbb{R}. Portanto não há restrição adicional: o domínio é todo \mathbb{R}.
Assim
\operatorname{dom}(f\circ f)=\mathbb{R}.

Passo 5

Fórmula:
(g\circ f)(x)=g\big(f(x)\big)=g\big(x^{3}\big)=\sqrt{x^{3}-1}.
Domínio: aplicando a regra, precisamos de x\in\operatorname{dom}(f)=\mathbb{R} e de f(x)=x^{3}\in\operatorname{dom}(g)=[1,\infty). Então precisamos resolver
x^{3}\ge 1.
A função x\mapsto x^{3} é estritamente crescente em \mathbb{R}, logo a inequação x^{3}\ge 1 equivale a x\ge 1.
Portanto
\operatorname{dom}(g\circ f)=[1,\infty).
Observação intuitiva: somente valores de x cujo cubo seja pelo menos 1 fazem g(f(x)) bem definido.

Passo 6

Fórmula:
(g\circ g)(x)=g\big(g(x)\big)=g\big(\sqrt{x-1}\big)=\sqrt{\sqrt{x-1}-1}.
Domínio: primeiro x deve pertencer a \operatorname{dom}(g)=[1,\infty). Segundo, o valor interno g(x)=\sqrt{x-1} deve pertencer a \operatorname{dom}(g)=[1,\infty), ou seja
\sqrt{x-1}\ge 1.
Como o lado esquerdo é não negativo, podemos elevar ambos os lados ao quadrado sem inverter desigualdade, obtendo
x-1\ge 1 \quad\Longleftrightarrow\quad x\ge 2.
Essa condição já implica x\ge1, então a condição final é x\ge 2.
Portanto
\operatorname{dom}(g\circ g)=[2,\infty).
Breve justificativa conceitual: para aplicar g duas vezes, é preciso que a primeira raiz já seja pelo menos 1, daí a necessidade de x\ge 2.

Passo 7

  • Sempre verifique domínio de dentro para fora: primeiro o domínio da função interior, depois verifique se o valor produzido cai no domínio da função exterior.
  • Para desigualdades com potências ímpares (como x^{3}\ge 1) use o fato de que x\mapsto x^{3} é crescente em \mathbb{R}, então a desigualdade se transfere diretamente para x.
  • Para desigualdades envolvendo raiz quadrada use que \sqrt{\cdot} é não negativa, e pode-se elevar ambos os lados ao quadrado quando ambos os lados são não negativos.
Força aí — respira fundo e reveja este procedimento: na prova, escreva explicitamente a verificação do domínio usando a regra da composição; isso garante pontos se o avaliador pedir justificativa.

Resposta

(f\circ g)(x)=(x-1)^{3/2},\quad \operatorname{dom}(f\circ g)=[1,\infty) \n
(f\circ f)(x)=x^{9},\quad \operatorname{dom}(f\circ f)=\mathbb{R} \n
(g\circ f)(x)=\sqrt{x^{3}-1},\quad \operatorname{dom}(g\circ f)=[1,\infty) \n
(g\circ g)(x)=\sqrt{\sqrt{x-1}-1},\quad \operatorname{dom}(g\circ g)=[2,\infty)

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