Para cada par de funções
abaixo encontre o domínio e as expressões de
,
e
.
Passo 1
O enunciado dá duas funções e pede o domínio e as fórmulas das composições
,
,
e
. Vou listar claramente o que temos:
- A função
está definida por
Informação importante: o domínio de
é
(todos os reais).
- A função
está definida por
Informação importante: o domínio de
é
, isto é,
só está definida para
.
Perguntas que o enunciado faz:
- Qual é o domínio de cada composição
, , , ? - Qual é a expressão (fórmula) de cada uma dessas composições?
Passo 2
Relembrando a regra geral para domínio de composição: se
, ou seja
, então o domínio de
é
Ou seja: primeiro
deve estar no domínio de
; segundo, o valor
precisa estar no domínio de
. Vou aplicar exatamente essa regra para cada composição. É a chave: sempre verificar domínio de dentro para fora.
Passo 3
Primeiro a fórmula:
Podemos reescrever de forma mais usual como
Agora o domínio: pela regra, precisamos de
e
.
- Já sabemos
, então . - E
tem domínio , isto é, aceita qualquer número real; portanto qualquer real é aceito por .
Logo o único requisito é
. Portanto
Observação didática rápida: embora
só faça sentido real para
(porque a raiz quadrada exige
), essa é exatamente a condição que já vem do domínio de
.
Passo 4
Fórmula:
Domínio:
. Para
precisamos que
(isto é,
real) e que
(isto é,
real). Mas
é real para todo
. Portanto não há restrição adicional: o domínio é todo
.
Assim
Passo 5
Fórmula:
Domínio: aplicando a regra, precisamos de
e de
. Então precisamos resolver
A função
é estritamente crescente em
, logo a inequação
equivale a
.
Portanto
Observação intuitiva: somente valores de
cujo cubo seja pelo menos
fazem
bem definido.
Passo 6
Fórmula:
Domínio: primeiro
deve pertencer a
. Segundo, o valor interno
deve pertencer a
, ou seja
Como o lado esquerdo é não negativo, podemos elevar ambos os lados ao quadrado sem inverter desigualdade, obtendo
Essa condição já implica
, então a condição final é
.
Portanto
Breve justificativa conceitual: para aplicar
duas vezes, é preciso que a primeira raiz já seja pelo menos
, daí a necessidade de
.
Passo 7
- Sempre verifique domínio de dentro para fora: primeiro o domínio da função interior, depois verifique se o valor produzido cai no domínio da função exterior.
- Para desigualdades com potências ímpares (como
) use o fato de que é crescente em , então a desigualdade se transfere diretamente para . - Para desigualdades envolvendo raiz quadrada use que
é não negativa, e pode-se elevar ambos os lados ao quadrado quando ambos os lados são não negativos.
Força aí — respira fundo e reveja este procedimento: na prova, escreva explicitamente a verificação do domínio usando a regra da composição; isso garante pontos se o avaliador pedir justificativa.