La densidad de flujo efectiva en el núcleo de un transformador ideal de
es 1.2 T. El área de la sección transversal del núcleo es de
y el factor de apilamiento de las laminaciones es 0.93 . Calcule el número de vueltas en los devanados primario y secundario si la frecuencia de oscilaciones es a) 25 Hz , b) 50 Hz , c) 60 Hz y d) 400 Hz .
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver ainda).
-
Dados fornecidos:
- Densidade de fluxo efetiva no núcleo:
. - Área da seção transversal do núcleo:
. - Fator de empilhamento das lâminas:
. - Transformador ideal com tensões nominais: primário
e secundário . - Frequências pedidas: (a)
, (b) , (c) , (d) .
- Densidade de fluxo efetiva no núcleo:
-
O que o enunciado pede:
- Calcular o número de espiras (voltas) do enrolamento primário
e do secundário para cada uma das quatro frequências indicadas.
- Calcular o número de espiras (voltas) do enrolamento primário
Passo 2
Qual fórmula vamos usar e por quê (aula curta e prática).
- Para um enrolamento com fluxo magnético senoidal, a tensão eficaz induzida por espira é dada por uma fórmula padrão que vem da Lei de Faraday e do fato de que a tensão é proporcional à derivada do fluxo magnético. A forma prática usada em transformadores é:
onde:
-
é a tensão eficaz (RMS) induzida no enrolamento (em volts), -
é a frequência (em hertz), -
é o número de espiras do enrolamento, -
é o fluxo magnético máximo (em weber) que atravessa a seção por espira, -
o fator
aparece quando se passa de uma onda senoidal de fluxo ao valor eficaz da fem induzida (é simplificado para a forma prática). -
Relação entre fluxo e densidade de fluxo:
onde
é a área efetiva do núcleo (em
). O fator de empilhamento reduz a área efetiva disponível para o fluxo, portanto
- Para um transformador ideal a relação de transformação é a mesma entre tensões e entre espiras:
logo
.
Passo 3
Converter unidades e calcular a área efetiva do núcleo.
- Converter
para :
- Aplicar o fator de empilhamento:
Passo 4
Calcular o fluxo máximo
.
- Usando
e :
Passo 5
Isolar
na fórmula e preparar para calcular
.
- A fórmula para a tensão RMS por enrolamento é
- Isolando
:
- Para o primário usamos
. Portanto
- Como já temos
, podemos calcular o fator fixo
Assim
(Esta forma facilita o cálculo numérico para diferentes
.)
Passo 6
Calcular
numericamente para cada frequência (mostrar contas).
- a) Para
:
- b) Para
:
- c) Para
:
- d) Para
:
Esses números são os valores teóricos (podem ser fracionários). Na prática só existem números inteiros de espiras, e costuma-se escolher números inteiros que preservem convenientemente a relação de transformação.
Passo 7
Determinar
e escolher arredondamento prático.
-
Relação exata:
. Calculando as frações: - a)
. - b)
. - c)
. - d)
.
- a)
-
Escolha prática para fabricantes/técnicos: espiras devem ser inteiras e costuma-se manter a razão de transformação próxima à exata. Uma estratégia simples e razoável: arredondar
para o inteiro par mais próximo (assim fica inteiro e a relação permanece exatamente 2). Aplicando isso: - a)
→ arredondar para (par). Então . - b)
→ arredondar para o inteiro par mais próximo é . Então . - c)
→ inteiro par mais próximo é . Então . - d)
→ inteiro par mais próximo é . Então .
- a)
-
Observação: outras políticas de arredondamento são possíveis (por exemplo arredondar cada
ao inteiro mais próximo independentemente), mas a escolha acima mantém exatamente a relação de transformação e é prática para construção do transformador.
Resposta
a)
b)
c)
d)