La densidad de flujo efectiva en el núcleo de un transformador ideal de 220 / 110 \mathrm{~V} es 1.2 T. El área de la sección transversal del núcleo es de 80 \mathrm{~cm}^{2} y el factor de apilamiento de las laminaciones es 0.93 . Calcule el número de vueltas en los devanados primario y secundario si la frecuencia de oscilaciones es a) 25 Hz , b) 50 Hz , c) 60 Hz y d) 400 Hz .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Dados fornecidos:
    • Densidade de fluxo efetiva no núcleo: B_{\text{ef}}=1{,}2\\ \mathrm{T}.
    • Área da seção transversal do núcleo: 80\\ \mathrm{cm}^{2}.
    • Fator de empilhamento das lâminas: k_s=0{,}93.
    • Transformador ideal com tensões nominais: primário V_1=220\\ \mathrm{V} e secundário V_2=110\\ \mathrm{V}.
    • Frequências pedidas: (a) 25\\ \mathrm{Hz}, (b) 50\\ \mathrm{Hz}, (c) 60\\ \mathrm{Hz}, (d) 400\\ \mathrm{Hz}.
  • O que o enunciado pede:
    • Calcular o número de espiras (voltas) do enrolamento primário N_1 e do secundário N_2 para cada uma das quatro frequências indicadas.

Passo 2

Qual fórmula vamos usar e por quê (aula curta e prática).
  • Para um enrolamento com fluxo magnético senoidal, a tensão eficaz induzida por espira é dada por uma fórmula padrão que vem da Lei de Faraday e do fato de que a tensão é proporcional à derivada do fluxo magnético. A forma prática usada em transformadores é:
V = 4{,}44\, f\, N\, \Phi_{\max},
onde:
  • V é a tensão eficaz (RMS) induzida no enrolamento (em volts),
  • f é a frequência (em hertz),
  • N é o número de espiras do enrolamento,
  • \Phi_{\max} é o fluxo magnético máximo (em weber) que atravessa a seção por espira,
  • o fator 4{,}44 aparece quando se passa de uma onda senoidal de fluxo ao valor eficaz da fem induzida (é 2\sqrt{2}\pi/2 simplificado para a forma prática).
  • Relação entre fluxo e densidade de fluxo:
\Phi_{\max}=B_{\text{ef}}\cdot A_{\text{ef}},
onde A_{\text{ef}} é a área efetiva do núcleo (em \mathrm{m}^2). O fator de empilhamento reduz a área efetiva disponível para o fluxo, portanto
A_{\text{ef}} = k_s \cdot A_{\text{núcleo}}.ú
  • Para um transformador ideal a relação de transformação é a mesma entre tensões e entre espiras:
\frac{V_1}{V_2}=\frac{N_1}{N_2}=\frac{220}{110}=2,
logo N_2 = \dfrac{N_1}{2}.

Passo 3

Converter unidades e calcular a área efetiva do núcleo.
  • Converter 80\\ \mathrm{cm}^{2} para \mathrm{m}^{2}:
A_{\text{núcleo}} = 80\\ \mathrm{cm}^2 = 80\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}^2 = 0{,}008\\ \mathrm{m}^2.ú
  • Aplicar o fator de empilhamento:
A_{\text{ef}} = k_s \cdot A_{\text{núcleo}} = 0{,}93 \times 0{,}008 = 0{,}00744\\ \mathrm{m}^2.ú

Passo 4

Calcular o fluxo máximo \Phi_{\max}.
  • Usando B_{\text{ef}}=1{,}2\\ \mathrm{T} e A_{\text{ef}}=0{,}00744\\ \mathrm{m}^2:
\Phi_{\max}=B_{\text{ef}}\cdot A_{\text{ef}}=1{,}2\times 0{,}00744=0{,}008928\\ \mathrm{Wb}.

Passo 5

Isolar N na fórmula e preparar para calcular N_1.
  • A fórmula para a tensão RMS por enrolamento é
V = 4{,}44\, f\, N\, \Phi_{\max}.
  • Isolando N:
N=\frac{V}{4{,}44\, f\, \Phi_{\max}}.
  • Para o primário usamos V=V_1=220\\ \mathrm{V}. Portanto
N_1=\frac{220}{4{,}44\, f\, \Phi_{\max}}.
  • Como já temos \Phi_{\max}=0{,}008928\\ \mathrm{Wb}, podemos calcular o fator fixo
4{,}44\,\Phi_{\max}=4{,}44\times 0{,}008928 = 0{,}03964032.
Assim
N_1=\frac{220}{0{,}03964032\, f} \approx \frac{5553{,}98}{f}.
(Esta forma facilita o cálculo numérico para diferentes f.)

Passo 6

Calcular N_1 numericamente para cada frequência (mostrar contas).
  • a) Para f=25\\ \mathrm{Hz}:
N_1=\frac{220}{0{,}03964032\times 25}=\frac{220}{0{,}991008}=222{,}157\\ (\text{espiras}).
  • b) Para f=50\\ \mathrm{Hz}:
N_1=\frac{220}{0{,}03964032\times 50}=\frac{220}{1{,}982016}=111{,}079\\ (\text{espiras}).
  • c) Para f=60\\ \mathrm{Hz}:
N_1=\frac{220}{0{,}03964032\times 60}=\frac{220}{2{,}3784192}=92{,}565\\ (\text{espiras}).
  • d) Para f=400\\ \mathrm{Hz}:
N_1=\frac{220}{0{,}03964032\times 400}=\frac{220}{15{,}856128}=13{,}884\\ (\text{espiras}).
Esses números são os valores teóricos (podem ser fracionários). Na prática só existem números inteiros de espiras, e costuma-se escolher números inteiros que preservem convenientemente a relação de transformação.

Passo 7

Determinar N_2 e escolher arredondamento prático.
  • Relação exata: N_2 = N_1/2. Calculando as frações:
    • a) N_2 = 222{,}157/2 = 111{,}079.
    • b) N_2 = 111{,}079/2 = 55{,}5395.
    • c) N_2 = 92{,}565/2 = 46{,}2825.
    • d) N_2 = 13{,}884/2 = 6{,}942.
  • Escolha prática para fabricantes/técnicos: espiras devem ser inteiras e costuma-se manter a razão de transformação próxima à exata. Uma estratégia simples e razoável: arredondar N_1 para o inteiro par mais próximo (assim N_2=N_1/2 fica inteiro e a relação N_1/N_2 permanece exatamente 2). Aplicando isso:
    • a) N_1\approx 222{,}157 → arredondar para N_1=222 (par). Então N_2=111.
    • b) N_1\approx 111{,}079 → arredondar para o inteiro par mais próximo é N_1=112. Então N_2=56.
    • c) N_1\approx 92{,}565 → inteiro par mais próximo é N_1=92. Então N_2=46.
    • d) N_1\approx 13{,}884 → inteiro par mais próximo é N_1=14. Então N_2=7.
  • Observação: outras políticas de arredondamento são possíveis (por exemplo arredondar cada N ao inteiro mais próximo independentemente), mas a escolha acima mantém exatamente a relação de transformação 2:1 e é prática para construção do transformador.

Resposta

a) f=25\\ \mathrm{Hz}:\\ N_1=222,\\ N_2=111
b) f=50\\ \mathrm{Hz}:\\ N_1=112,\\ N_2=56
c) f=60\\ \mathrm{Hz}:\\ N_1=92,\\ N_2=46
d) f=400\\ \mathrm{Hz}:\\ N_1=14,\\ N_2=7

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