Un transformador reductor ideal de 12 kVA y 480 / 120 \mathrm{~V} opera a plena carga con un factor de potencia de 70.7 \% en adelanto. El transformador está disenado en forma tal que se inducen 2 V por vuelta en sus devanados. Determine a) el número de vueltas en los devanados primario y secundario, b) las corrientes en los devanados primario y secundario, c) la potencia de salida, y d) la impedancia de la carga en el lado secundario. Trace el circuito equivalente con la representación de la carga en el lado primario.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tirei todos os números do enunciado):
  • Potência aparente nominal do transformador: S=12\\ \text{kVA}=12\,000\\ \text{VA}.
  • Tensões nominais: primário V_1=480\\ \text{V} e secundário V_2=120\\ \text{V}.
  • Indução por volta (tensão por volta): 2\\ \text{V/volta}.
  • Opera a plena carga com fator de potência \text{pf}=70{,}7\% em adiantamento (leading).
    O que o exercício pede:
    (a) número de voltas nos devanados primário e secundário;
    (b) correntes nos devanados primário e secundário (na plena carga e com o fator de potência dado);
    (c) potência de saída (potência ativa entregue pela saída);
    (d) impedância da carga no lado secundário.
    Também pede traçar o circuito equivalente com a carga representada no lado primário (ou seja, referir a carga ao primário).

Passo 2

Conceito útil e como usar aqui (aula rápida): a tensão induzida por volta é a mesma em primário e secundário para um transformador ideal; se cada volta gera e volts, o número de voltas N necessário para uma tensão V é
N=\dfrac{V}{e},
onde e é a tensão por volta (aqui e=2\\ \text{V/volta}). Também definimos a relação de espiras (razão de transformação)
a=\dfrac{N_1}{N_2}=\dfrac{V_1}{V_2}.
Agora aplicando ao problema:
N_1=\dfrac{V_1}{2}=\dfrac{480}{2}=240\\ \text{voltas},
N_2=\dfrac{V_2}{2}=\dfrac{120}{2}=60\\ \text{voltas}.
Portanto a=\dfrac{N_1}{N_2}=\dfrac{240}{60}=4, o que também confere com V_1/V_2=480/120=4.

Passo 3

Correntes a plena carga (conceito): a potência aparente é S=V\cdot I (magnitudes), logo a corrente de plena carga em cada lado é
I=\dfrac{S}{V}
(para transformador ideal a potência aparente é a mesma nos dois lados). Assim:
I_2=\dfrac{12\,000}{120}=100\\ \text{A},
I_1=\dfrac{12\,000}{480}=25\\ \text{A}.
Fator de potência e ângulo: \text{pf}=\cos\varphi=0{,}707. Assim
\varphi=\cos^{-1}(0{,}707)\approx 45^\circ.
Como o fator é em adiantamento (leading), a corrente adianta a tensão em 45^\circ. Tomando a tensão de referência com ângulo 0^\circ (isto é, V_1=480\angle 0^\circ, V_2=120\angle 0^\circ), os correntes fasoriais são:
I_2=100\angle 45^\circ\\ \text{A},
I_1=25\angle 45^\circ\\ \text{A}.
(Comentário prático: o sinal de leading significa componente reativa negativa — comportamento capacitivo — e veremos isso na impedância.)

Passo 4

Potência de saída (conceito): potência ativa entregue pela saída é P=S\cdot\text{pf}. Calculando:
P_{\text{saida}}=12\,000\cdot 0{,}707=8\,484\\ \text{W}.
Para maior entendimento, a potência reativa (módulo) é Q=S\sin\varphi. Como \varphi\approx45^\circ e o fator é leading, a potência reativa é negativa (fornecida pelo load):
Q=S\sin 45^\circ=12\,000\cdot 0{,}707\approx 8\,484\\ \text{var},
portanto Q\approx -8\,484\\ \text{var} (o sinal negativo indica adiantamento, ou reativo capacitivo).

Passo 5

Impedância da carga no lado secundário (conceito): imp( Z ) é a razão fasorial entre tensão e corrente,
Z=\dfrac{V}{I},
onde é importante considerar magnitude e ângulo: \angle Z = \angle V - \angle I.
Aqui V_2=120\angle 0^\circ e I_2=100\angle 45^\circ. Então
Z_{L,\text{sec}}=\dfrac{120\angle 0^\circ}{100\angle 45^\circ}=1{,}2\angle -45^\circ\\ \Omega.
Converter para forma retangular (útil para ver resistência e reatância):
R=1{,}2\cos 45^\circ=1{,}2\cdot 0{,}7071\approx 0{,}8485\\ \Omega,
X=1{,}2\sin(-45^\circ)=1{,}2\cdot(-0{,}7071)\approx -0{,}8485\\ \Omega.
Portanto
Z_{L,\text{sec}} \approx 0{,}8485 - j0{,}8485\\ \Omega.
Interpretação: reatância negativa confirma que a carga é reativa capacitiva (corrente adianta a tensão).

Passo 6

Referir a impedância da carga ao primário (conceito): numa transformação ideal, as impedâncias se referem pela razão ao quadrado das tensões ou das espiras:
Z'_{L,\text{prim}}=a^2 Z_{L,\text{sec}},
onde a=\dfrac{N_1}{N_2}=\dfrac{V_1}{V_2}=4. Assim
Z'_{L,\text{prim}}=4^2\cdot 1{,}2\angle -45^\circ=16\cdot 1{,}2\angle -45^\circ=19{,}2\angle -45^\circ\\ \Omega.
Em retangular:
R' = 19{,}2\cos45^\circ \approx 13{,}5756\\ \Omega,
X' = 19{,}2\sin(-45^\circ) \approx -13{,}5756\\ \Omega,
ou
Z'_{L,\text{prim}} \approx 13{,}5756 - j13{,}5756\\ \Omega.
Verificação simples (checar correntes): I_1=V_1/Z'_{L,\text{prim}} = 480\angle 0^\circ / 19{,}2\angle -45^\circ = 25\angle 45^\circ\\ \text{A}, que bate com o valor encontrado no Passo 3.

Passo 7

Circuito equivalente (descrição para traçar): duas formas equivalentes úteis a desenhar:
  1. Circuito real (transformador ideal): fonte V_1=480\angle 0^\circ alimenta o enrolamento primário ( N_1=240 voltas). O transformador ideal com N_2=60 voltas fornece ao secundário V_2=120\angle 0^\circ, que alimenta a carga Z_{L,\text{sec}}=1{,}2\angle -45^\circ\\ \Omega. As correntes são I_1=25\angle 45^\circ\\ \text{A} no primário e I_2=100\angle 45^\circ\\ \text{A} no secundário.
  2. Circuito equivalente referido ao primário (mais simples para análise de tensões/correntes na fonte): fonte V_1=480\angle 0^\circ diretamente ligada a uma impedância equivalente Z'_{L,\text{prim}}=19{,}2\angle -45^\circ\\ \Omega (que representa a carga refletida). A corrente que circula é I_1=25\angle 45^\circ\\ \text{A}. Os valores numéricos para Z_{L,\text{sec}} e Z'_{L,\text{prim}} foram dados no passo anterior.

Resposta

(a) N_1=240\\ \text{voltas},\\ N_2=60\\ \text{voltas}.
(b) I_1=25\angle 45^\circ\\ \text{A},\\ I_2=100\angle 45^\circ\\ \text{A}.
(c) P_{\text{saida}}=12\,000\cdot 0{,}707=8\,484\\ \text{W}.
(d) Z_{L,\text{sec}}=1{,}2\angle -45^\circ\\ \Omega \approx 0{,}8485 - j0{,}8485\\ \Omega.
Z'_{L,\text{prim}}=19{,}2\angle -45^\circ\\ \Omega \approx 13{,}5756 - j13{,}5756\\ \Omega.

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