Un transformador de 25 kVA tiene 500 vueltas en el primario y 50 vueltas en el secundario. Si el primario está especificado a 2.5 kVA , encuentre la especificación del secundario. ¿Cuál es el flujo en el núcleo en condiciones sin carga si la frecuencia de operación es de 50 Hz ? Si el transformador alimenta plena carga con un factor de potencia de 0.8 en adelanto, determine a ) las corrientes en los devanados primario y secundario, b) la potencia de salida, c) la impedancia de la carga en el lado secundario, y d) la impedancia de la carga referida al lado primario.

Passo 1

Vamos organizar certinho o que o enunciado dá e o que ele pede (vou esclarecer uma ambiguidade e seguir uma escolha razoável para poder resolver sem te perguntar nada).
Dados fornecidos:
  • Potência nominal do transformador: 25\\ \text{kVA}.
  • Número de espiras do primário: N_1 = 500.
  • Número de espiras do secundário: N_2 = 50.
  • O enunciado diz “Si el primario está especificado a 2.5 kVA”. Isso é ambíguo (kVA é potência, e não faz sentido especificar potência do primário diferente da potência nominal do transformador). Interpreto aqui que o autor quis dizer que a tensão nominal do primário é 2{,}5\\ \text{kV} (ou seja, V_1 = 2{,}5\\ \text{kV}). Vou adotar essa interpretação porque é a mais comum em problemas de transformador com dados de espiras.
  • Frequência de operação: f = 50\\ \text{Hz}.
  • Quando o transformador alimenta plena carga: fator de potência \text{pf} = 0{,}8 adiantado (leading).
O que o exercício pede:
  1. Encontrar a especificação do secundário (isto é, a tensão nominal do secundário V_2, assumindo V_1 = 2{,}5\\ \text{kV}).
  2. Calcular o fluxo magnético no núcleo em condições sem carga.
  3. Para carga plena com \text{pf}=0{,}8 adiantado, determinar:
    a) correntes nos enrolamentos primário e secundário;
    b) potência de saída (real);
    c) impedância da carga no lado secundário (valor complexo);
    d) impedância da carga referida ao lado primário.

Passo 2

Relações básicas do transformador ideal (lembrete e explicação das fórmulas que vou usar).
  • Razão de espiras (fator de transformação) a:
a=\dfrac{N_1}{N_2}.
Essa razão relaciona tensões e correntes (no transformador ideal):
\dfrac{V_1}{V_2}=a,\qquad \dfrac{I_2}{I_1}=a.
Ou equivalentemente
I_1 = \dfrac{I_2}{a},\qquad V_2=\dfrac{V_1}{a}.
Aqui V_1 e V_2 são as tensões RMS nominais do primário e do secundário, e I_1, I_2 são as correntes RMS nominais.
  • Equação da FEM induzida em enrolamento para onda senoidal (para estimar o fluxo máximo):
E_{\rm rms} = 4{,}44\, f\, N\, \Phi_{\max},
onde E_{\rm rms} é a tensão RMS induzida no enrolamento (aproximada pela tensão nominal se desprezarmos quedas internas), f frequência, N número de espiras e \Phi_{\max} fluxo máximo (em weber). Vou usar essa fórmula para calcular \Phi_{\max} no primário em vazio.
  • Potência aparente e ativa:
S = V_1 I_1 = V_2 I_2 \quad(\text{em magnitudes, para carga nominal}),
P_{\text{out}} = S\cdot \text{pf}.
Aqui S é a potência aparente nominal 25\\ \text{kVA}.
  • Impedância da carga a partir de tensão e corrente (phasors):
Z = \dfrac{V}{I} \quad(\text{ângulo de }Z = \angle V - \angle I).â
Se a corrente está adiantada em um ângulo \varphi (pf adiantado), então a impedância tem ângulo -\varphi (reatância capacitiva se \varphi>0).

Passo 3

Calcular a razão de espiras e a tensão do secundário (especificação do secundário).
Razão de espiras:
a=\dfrac{N_1}{N_2}=\dfrac{500}{50}=10.
Como escolhi V_1 = 2{,}5\\ \text{kV} = 2500\\ \text{V}, a tensão do secundário é
V_2=\dfrac{V_1}{a}=\dfrac{2500\\ \text{V}}{10}=250\\ \text{V}.
Comentário prático: a potência nominal do transformador não muda por causa da razão de espiras — o transformador é um conversor de tensão/corrente; portanto a especificação do secundário (tensão e corrente nominais) derivam de V_1, a e da potência nominal S.

Passo 4

Calcular o fluxo no núcleo em condições sem carga (vazio), usando a equação da FEM.
Usamos a tensão RMS no primário como E_{\rm rms} (desprezando quedas):
\Phi_{\max}=\dfrac{E_{\rm rms}}{4{,}44\, f\, N_1}.
Substituindo
\Phi_{\max}=\dfrac{2500}{4{,}44\cdot 50\cdot 500}\\ \text{Wb}.
Calculemos passo a passo:
4{,}44\cdot 50 = 222,
222\cdot 500 = 111\,000,
\Phi_{\max}=\dfrac{2500}{111\,000}\approx 0{,}0225225\\ \text{Wb}.
Logo o fluxo máximo no núcleo em vazio é aproximadamente \Phi_{\max}\approx 0{,}02252\\ \text{Wb} (22,5 mWb).
Breve explicação física: essa expressão vem da lei de Faraday para uma espira: a força eletromotriz induzida é proporcional à derivada temporal do fluxo; para onda senoidal a RMS desta FEM dá o fator 4{,}44.

Passo 5

Correntes nos enrolamentos em plena carga com \text{pf}=0{,}8 adiantado.
A potência aparente nominal é S=25\\ \text{kVA}=25\,000\\ \text{VA}.
Corrente nominal no primário (magnitudes):
I_1=\dfrac{S}{V_1}=\dfrac{25\,000}{2500}=10\\ \text{A}.
Corrente nominal no secundário:
I_2=\dfrac{S}{V_2}=\dfrac{25\,000}{250}=100\\ \text{A}.
Observação sobre ângulos (pf adiantado): fator de potência 0{,}8 significa que \cos\varphi=0{,}8. O ângulo de fase entre tensão e corrente é
\varphi=\cos^{-1}(0{,}8)\approx 36{,}87^\circ.
Como o pf é adiantado (leading), a corrente adianta a tensão; em notação fasorial:
  • \angle V pode ser tomada como 0^\circ,
  • \angle I = +36{,}87^\circ (corrente adiantada).

Passo 6

Potência de saída (real) entregue à carga.
A potência ativa de saída é
P_{\text{out}}=S\cdot \text{pf}=25\,000\cdot 0{,}8 = 20\,000\\ \text{W} = 20\\ \text{kW}.
O sinal “adiantado” só indica natureza reativa (capacitiva), mas a potência ativa é positiva e igual a 20\\ \text{kW}.

Passo 7

Impedância da carga no lado secundário (valor complexo).
A magnitude da impedância:
|Z_2|=\dfrac{V_2}{I_2}=\dfrac{250}{100}=2{,}5\\ \Omega.
O ângulo da impedância é \angle Z_2 = \angle V_2 - \angle I_2 = 0^\circ - (+36{,}87^\circ) = -36{,}87^\circ (negativo porque a corrente adianta a tensão).
Portanto em forma fasorial:
Z_2 = 2{,}5\\ \angle -36{,}87^\circ\\ \Omega.
Convertendo para forma retangular Z_2 = R_2 + jX_2:
R_2 = |Z_2|\cos(-36{,}87^\circ)=2{,}5\cdot 0{,}8 = 2{,}0\\ \Omega,
X_2 = |Z_2|\sin(-36{,}87^\circ)=2{,}5\cdot(-0{,}6) = -1{,}5\\ \Omega.
Logo
Z_2 = 2{,}0 - j1{,}5\\ \Omega.
(O sinal negativo em X_2 indica reatância capacitiva, coerente com pf adiantado.)

Passo 8

Impedância da carga referida ao primário.
A impedância referida ao primário é dada por
Z_{2}' = a^2 Z_2,
onde a=\dfrac{N_1}{N_2}=10. Assim a^2=100.
Multiplicando:
Z_{2}' = 100\cdot (2{,}5\\ \angle -36{,}87^\circ) = 250\\ \angle -36{,}87^\circ\\ \Omega.
Em forma retangular:
R' = 100\cdot R_2 = 100\cdot 2{,}0 = 200\\ \Omega,
X' = 100\cdot X_2 = 100\cdot(-1{,}5) = -150\\ \Omega,
portanto
Z_{2}' = 200 - j150\\ \Omega.

Resposta

Especificación del secundario: V_2 = 250\\ \text{V}.
Flujo en vacío: \Phi_{\max}\approx 0{,}02252\\ \text{Wb}.
a) Corrientes: I_1=10\\ \text{A}, I_2=100\\ \text{A}.
b) Potencia de salida: P_{\text{out}}=20\\ \text{kW}.
c) Impedancia en el secundario: Z_2=2{,}5\\ \angle -36{,}87^\circ\\ \Omega = 2{,}0 - j1{,}5\\ \Omega.
d) Impedancia referida al primario: Z_{2}'=250\\ \angle -36{,}87^\circ\\ \Omega = 200 - j150\\ \Omega.

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