A densidade do alumínio é de 2700 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. Se ondas transversais se propagam a 34 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \mathrm{em} um fio de alumínio com 4,6 \mathrm{~mm} de diâmetro, qual é a tensão no fio?

Passo 1

O enunciado pede a tensão no fio de alumínio. Dados fornecidos:
\rho = 2700\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 (densidade do alumínio),
velocidade das ondas transversais v = 34\\ \mathrm{m}/\mathrm{s},
diâmetro do fio d = 4,6\\ \mathrm{mm}.
Pergunta: qual é a tensão T no fio?

Passo 2

Qual a relação física que liga velocidade de onda a tensão? Para ondas transversais em um fio (ou corda) homogêneo a velocidade v satisfaz:
v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}
onde T é a tensão no fio (em newtons) e \mu é a densidade linear de massa do fio (em \mathrm{kg}/\mathrm{m}). Esta fórmula significa: quanto maior a tensão, mais rápido viaja a onda; quanto maior a massa por comprimento, mais lenta a onda fica. Vamos isolar T:
T = \mu\, v^2.

Passo 3

Como obter \mu para um fio cilíndrico? A densidade linear \mu é dada por
\mu = \rho \, A,
onde \rho é a densidade volumétrica (já dada) e A é a área da seção transversal do fio. Para seção circular,
A = \pi r^2,
com r o raio. Primeiro convertemos o diâmetro para metros e calculamos o raio:
d = 4,6\\ \mathrm{mm} = 0,0046\\ \mathrm{m},
r = \frac{d}{2} = 0,0023\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calculamos a área da seção:
r^2 = (0,0023)^2 = 5,29\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}^2,
A = \pi r^2 = \pi \times 5,29\times10^{-6} \approx 1,662\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^2.
Explanação rápida: multiplicamos pela constante \pi para transformar o quadrado do raio na área do círculo.

Passo 5

Agora a densidade linear \mu:
\mu = \rho\, A = 2700 \times 1,662\times10^{-5}\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}.
Fazendo a multiplicação:
\mu \approx 0,044874\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}.
Unidades checadas: \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 vezes \mathrm{m}^2 \mathrm{kg}/\mathrm{m}, correto.

Passo 6

Voltamos à fórmula da tensão:
T = \mu\, v^2.
Calculamos v^2:
v^2 = 34^2 = 1156\\ (\mathrm{m}^2/\mathrm{s}^2).
Portanto
T = 0,044874 \times 1156 \approx 51,874344\\ \mathrm{N}.
Mostrei passo a passo: multipliquei a densidade linear pelo quadrado da velocidade para obter a tensão em newtons.

Passo 7

Arredondamento e interpretação: com dados fornecidos (duas casas significativas típicas nos dados), faz sentido apresentar a tensão com duas ou três figuras significativas. Assim,
T \approx 52\\ \mathrm{N}.

Resposta

T \approx 52\\ \mathrm{N}

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