Um alto-falante para sons graves vibra a uma frequência de 200 Hz , com amplitude de 1,5 \mathrm{~mm}. Considerando que esse equipamento vibra como um pistão, que a densidade do ar seja igual a \rho=1,2 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{2}, determine:
(a) A intensidade da onda sonora nas proximidades do alto-falante. (b) o nível de intensidade sonora.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) A intensidade da onda sonora nas proximidades do alto-falante.
  • (b) O nível de intensidade sonora correspondente.
Informações fornecidas pelo enunciado:
  • Frequência: \;f=200\\ \mathrm{Hz}.
  • Amplitude de vibração (deslocamento máximo do pistão): \;A=1{,}5\\ \mathrm{mm}=1{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • Densidade do ar: o enunciado dá \rho=1{,}2\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{2}, mas esse é um provável erro de unidade. Vou assumir que se quis dizer \rho=1{,}2\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3} (densidade do ar), que é o valor físico correto.
  • O enunciado diz para considerar o alto-falante como um pistão e pedir a intensidade “nas proximidades” — isso justifica usar a aproximação de onda plana imediatamente fora do pistão (partícula do ar acompanha a velocidade do pistão na superfície).
Observações que vou assumir para prosseguir (não pedidas, mas necessárias):
  • Velocidade do som no ar: vou usar \;c=340\\ \mathrm{m/s} (valor típico à temperatura ambiente).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • O pistão oscila sinusoidalmente em x(t)=A\cos(\omega t), onde \omega é a pulsação angular dada por
\omega=2\pi f.
  • A velocidade instantânea do pistão é a derivada do deslocamento:
v(t)=\frac{d}{dt}x(t)=-A\omega\sin(\omega t).
A amplitude da velocidade (valor máximo absoluto da velocidade) é
v_{\max}=A\omega.
Explicando: A é o deslocamento máximo (metros), \omega tem unidades de rad/s, então A\omega tem unidades de m/s, adequado para velocidade máxima.
  • Para uma onda sonora progressiva plana no ar, a pressão máxima (amplitude de pressão) relaciona-se com a amplitude da velocidade das partículas pela relação
p_{\max}=\rho c\, v_{\max},
onde \rho é a densidade do meio (kg/m³) e c é a velocidade do som (m/s). Explicando: essa relação é válida para ondas planas progressivas e diz que maior velocidade das partículas produz maior variação de pressão.
  • A intensidade média (intensidade temporal média, potência por área) de uma onda sonora senoidal é dada por média do produto pressão × velocidade. Para uma onda senoidal com amplitudes p_{\max} e v_{\max},
I_{\text{média}} = \frac{1}{2} p_{\max} v_{\max}.é
Substituindo p_{\max}=\rho c v_{\max} obtemos a fórmula conveniente
I = \frac{1}{2}\rho c v_{\max}^{2}.
Explicando a fórmula: o fator 1/2 aparece porque estamos tomando a média temporal de um produto senoidal (valores rms). Outra forma equivalente é I=\dfrac{1}{2}\dfrac{p_{\max}^{2}}{\rho c}.
  • Para o nível de intensidade sonora (em decibéis) usamos
\beta = 10\log_{10}\!\left(\frac{I}{I_{0}}\right),
onde I_{0}=1\times10^{-12}\\ \mathrm{W/m^{2}} é a intensidade de referência usual (limiar de audição). Explicando: a escala dB é logarítmica; um aumento de 10 dB corresponde a 10 vezes a intensidade.
Agora que temos as fórmulas, aplicamos aos valores dados.

Passo 3

Calcular \omega e a velocidade máxima v_{\max}.
Primeiro a pulsação:
\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot200 = 400\pi\\ \mathrm{rad/s}.
Agora a velocidade máxima do pistão:
v_{\max}=A\omega = \left(1{,}5\times10^{-3}\right)\cdot(400\pi).
Faço as contas passo a passo:
400\pi \approx 400\times3{,}1415927 \approx 1256{,}637.
v_{\max}\approx 1{,}5\times10^{-3}\times1256{,}637 \approx 1{,}8849556\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando com boas cifras significativas:
v_{\max}\approx 1{,}885\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Calcular a intensidade I usando \;I=\dfrac{1}{2}\rho c v_{\max}^{2}.
Primeiro v_{\max}^{2}:
v_{\max}^{2}\approx (1{,}8849556)^{2}\approx 3{,}55305\\ \mathrm{(m/s)^{2}}.
Agora calculemos I:
I=\frac{1}{2}\rho c v_{\max}^{2} = \frac{1}{2}\times1{,}2\times340\times3{,}55305.
Multiplique passo a passo:
\frac{1}{2}\times1{,}2 = 0{,}6.
0{,}6\times340 = 204.
204\times3{,}55305 \approx 724{,}82\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Portanto
I\approx 7,25\times10^{2}\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Obs.: esse valor é grande porque a amplitude de deslocamento e a baixa frequência (200 Hz) levam a uma velocidade máxima do pistão relativamente alta; intensidades próximas à superfície do pistão podem ser muito grandes.

Passo 5

Calcular o nível de intensidade sonora \beta.
Usamos
\beta = 10\log_{10}\!\left(\frac{I}{I_{0}}\right), \qquad I_{0}=1\times10^{-12}\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Substituindo I\approx724{,}82\\ \mathrm{W/m^{2}}:
\beta = 10\log_{10}\!\left(\frac{724{,}82}{1\times10^{-12}}\right) =10\log_{10}\!\left(7{,}2482\times10^{14}\right).
Usando propriedades do logaritmo:
\log_{10}\!(7{,}2482\times10^{14})=\log_{10}(7{,}2482)+14\approx 0{,}86006+14=14{,}86006.
Assim
\beta \approx 10\times14{,}86006 = 148{,}6006\\ \mathrm{dB}.
Arredondando:
\beta \approx 148{,}6\\ \mathrm{dB}.

Passo 6

Interpretação rápida (para te motivar): \beta\approx148{,}6\\ \mathrm{dB} é um nível extremamente alto (bem acima do limiar de dor); isso confirma que, com a amplitude de 1{,}5\\ \mathrm{mm} a 200 Hz, a região imediatamente próxima ao pistão é muito intensa. Em provas, basta apresentar o cálculo e o valor numérico com a explicação das fórmulas usadas.

Resposta

(a) I \approx 7{,}25\times10^{2}\\ \mathrm{W/m^{2}}
(b) \beta \approx 148{,}6\\ \mathrm{dB}

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