Sabendo que a energia média de uma onda sonora harmônica, em um elemento de volume \Delta V, é dada por
\Delta E=\frac{1}{2} \rho \omega^{2} s_{0}^{2} \Delta V
onde \rho é densidade do fluido, s_{0} é a amplitude do deslocamento das moléculas de ar.
Mostre que a intensidade desta onda pode ser escrita como
I=\frac{1}{2} \rho v \omega^{2} s_{0}^{2}

Passo 1

O enunciado dá a energia média contida num elemento de volume \Delta V de uma onda sonora harmônica:
\Delta E=\frac{1}{2}\rho\omega^{2}s_{0}^{2}\Delta V
As quantidades fornecidas são:
\rho — densidade do fluido,
\omega — frequência angular da onda,
s_{0} — amplitude do deslocamento das moléculas de ar,
\Delta V — volume considerado.
O que o enunciado pede: mostrar que a intensidade da onda pode ser escrita como
I=\frac{1}{2}\rho v\omega^{2}s_{0}^{2},
onde v é a velocidade de propagação da onda (velocidade do som no meio). Não começo a resolver aqui; apenas organizei o que foi dado e o que precisa ser provado.

Passo 2

Definição e ideia física a usar. Intensidade é energia transportada por unidade de tempo que atravessa por unidade de área. Em símbolos:
I=\frac{P}{A},
onde P é a potência (energia por tempo) que atravessa uma área A. Para transformar a energia contida em um volume numa potência, consideramos quanto dessa energia atravessa a área A em um intervalo de tempo \Delta t. A resolução segue dessa ideia básica.

Passo 3

Relacionando volume com área e espessura. Considere um pequeno “tubo” de seção transversa A e espessura \Delta x. O volume desse tubo é
\Delta V = A\,\Delta x.
Essa é só geometria: volume = área da base × altura (ou espessura).

Passo 4

Relacionando espessura com velocidade e tempo. Em um intervalo de tempo \Delta t a onda (e a energia associada ao pacote de ar) avança uma distância
\Delta x = v\,\Delta t,
porque v é a velocidade de propagação da onda. Logo, a energia que estava no volume \Delta V com \Delta V=A\Delta x atravessará a seção A em tempo \Delta t.

Passo 5

Substituindo \Delta x na expressão do volume e na energia. Usando \Delta V=A\Delta x=A v \Delta t na expressão dada para \Delta E, obtemos a energia (média) contida no volume que atravessa A em \Delta t:
\Delta E=\frac{1}{2}\rho\omega^{2}s_{0}^{2}\Delta V =\frac{1}{2}\rho\omega^{2}s_{0}^{2}(A v \Delta t).

Passo 6

Calculando a potência P (energia por tempo) que atravessa A e a intensidade I. A potência média é
P=\frac{\Delta E}{\Delta t} =\frac{1}{2}\rho\omega^{2}s_{0}^{2}(A v).
Agora a intensidade é I=P/A. Dividindo por A obtemos
I=\frac{P}{A}=\frac{1}{2}\rho\omega^{2}s_{0}^{2}v.
Reescrevendo na ordem desejada:
I=\frac{1}{2}\rho v \omega^{2} s_{0}^{2}.

Passo 7

Interpretação e comentário prático rápido. Essa fórmula diz que a intensidade cresce com a densidade \rho, com a velocidade de propagação v e com o quadrado da amplitude ( s_{0}^{2}) e da frequência angular ( \omega^{2}). Em alternativa, se você lembrar que a velocidade máxima das partículas é da ordem de \omega s_{0}, a intensidade também pode ser vista como proporcional a \rho v vezes o quadrado da velocidade de partícula (o que casa com a expressão acima). Você já tem a forma pedida.

Resposta

I=\frac{1}{2}\rho v \omega^{2} s_{0}^{2}

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