Sabendo que a energia média de uma onda sonora harmônica, em um elemento de volume
, é dada por
onde
é densidade do fluido,
é a amplitude do deslocamento das moléculas de ar.
Mostre que a intensidade desta onda pode ser escrita como
Mostre que a intensidade desta onda pode ser escrita como
Passo 1
O enunciado dá a energia média contida num elemento de volume
de uma onda sonora harmônica:
As quantidades fornecidas são:
— densidade do fluido,
— frequência angular da onda,
— amplitude do deslocamento das moléculas de ar,
— volume considerado.
O que o enunciado pede: mostrar que a intensidade da onda pode ser escrita como
O que o enunciado pede: mostrar que a intensidade da onda pode ser escrita como
onde
é a velocidade de propagação da onda (velocidade do som no meio). Não começo a resolver aqui; apenas organizei o que foi dado e o que precisa ser provado.
Passo 2
Definição e ideia física a usar. Intensidade é energia transportada por unidade de tempo que atravessa por unidade de área. Em símbolos:
onde
é a potência (energia por tempo) que atravessa uma área
. Para transformar a energia contida em um volume numa potência, consideramos quanto dessa energia atravessa a área
em um intervalo de tempo
. A resolução segue dessa ideia básica.
Passo 3
Relacionando volume com área e espessura. Considere um pequeno “tubo” de seção transversa
e espessura
. O volume desse tubo é
Essa é só geometria: volume = área da base × altura (ou espessura).
Passo 4
Relacionando espessura com velocidade e tempo. Em um intervalo de tempo
a onda (e a energia associada ao pacote de ar) avança uma distância
porque
é a velocidade de propagação da onda. Logo, a energia que estava no volume
com
atravessará a seção
em tempo
.
Passo 5
Substituindo
na expressão do volume e na energia. Usando
na expressão dada para
, obtemos a energia (média) contida no volume que atravessa
em
:
Passo 6
Calculando a potência
(energia por tempo) que atravessa
e a intensidade
. A potência média é
Agora a intensidade é
. Dividindo por
obtemos
Reescrevendo na ordem desejada:
Passo 7
Interpretação e comentário prático rápido. Essa fórmula diz que a intensidade cresce com a densidade
, com a velocidade de propagação
e com o quadrado da amplitude (
) e da frequência angular (
). Em alternativa, se você lembrar que a velocidade máxima das partículas é da ordem de
, a intensidade também pode ser vista como proporcional a
vezes o quadrado da velocidade de partícula (o que casa com a expressão acima). Você já tem a forma pedida.