A densidade de corrente \mathbf{J} no interior de um fio cilíndrico, oco e longo de raio externo a= 4,0 \mathrm{~mm} e interno b=2,0 \mathrm{~mm}, é paralela ao eixo central e seu módulo varia linearmente, entre a e b, com a distância radial, de acordo com a equação J=J_{o} r / a, onde J_{o}=1,0 \mathrm{~A} / \mathrm{m}^{2}. Determine o módulo do campo magnético para
r=0

Passo 1

O enunciado descreve um fio cilíndrico, oco, de comprimento muito grande, com raio interno b=2{,}0\\ \mathrm{mm} e raio externo a=4{,}0\\ \mathrm{mm}. A densidade de corrente é paralela ao eixo e varia com o raio r segundo
J(r)=J_{0}\,\frac{r}{a},
sendo J_{0}=1{,}0\\ \mathrm{A/m^{2}}. Pede-se o módulo do campo magnético no centro do cilindro, i.e.\ em r=0. Vamos usar a Lei de Ampère para determinar B(r) em função da corrente total envolvida.

Passo 2

Para aplicar a Lei de Ampère, escolhemos uma curva amperiana circular de raio r concêntrica ao fio. A forma geral da lei é
\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{\ell} \;=\;\mu_{0}\,I_{\text{enc}}(r),
e por simetria \mathbf{B} é tangencial e de módulo constante ao longo da curva, portanto
B(r)\,(2\pi r)=\mu_{0}\,I_{\text{enc}}(r).

Passo 3

Para r< b (ou em particular em r=0), a região interna é oca e não há corrente nela. Logo
I_{\text{enc}}(r< b)=0.

Passo 4

Substituindo I_{\text{enc}}=0 na Lei de Ampère, obtemos
B(r< b)\,(2\pi r)=\mu_{0}\cdot 0 \;\Longrightarrow\; B(r< b)=0.
Em especial, no eixo do cilindro ( r=0), o campo magnético vale zero.

Resposta

O módulo do campo magnético em r=0 é 0.

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