A densidade de corrente \mathbf{J} no interior de um fio cilíndrico, oco e longo de raio externo a= 4,0 \mathrm{~mm} e interno b=2,0 \mathrm{~mm}, é paralela ao eixo central e seu módulo varia linearmente, entre a e b, com a distância radial, de acordo com a equação J=J_{o} r / a, onde J_{o}=1,0 \mathrm{~A} / \mathrm{m}^{2}. Determine o módulo do campo magnético para
r=a

Passo 1

O enunciado trata de um fio cilíndrico oco, de raio externo a=4{,}0\times10^{-3}\,\mathrm m e interno b=2{,}0\times10^{-3}\,\mathrm m, com densidade de corrente paralela ao eixo e dada por
J(r)=J_{0}\,\frac{r}{a},
onde J_{0}=1{,}0\,\mathrm A/m^{2}. Precisamos usar a Lei de Ampère para achar o módulo do campo magnético em r=a.

Passo 2

Primeiro calculamos a corrente total I atravessando a seção transversal do anel (entre r=b e r=a) via
I \;=\;\int_{A}J\,dA \;=\;2\pi\int_{b}^{a}J(r)\,r\,dr.

Passo 3

Substituindo J(r)=J_{0}\,\frac{r}{a} na integral, obtemos
I = 2\pi\,\frac{J_{0}}{a}\int_{b}^{a}r^{2}\,dr =2\pi\,\frac{J_{0}}{a}\left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{b}^{a} =2\pi\,\frac{J_{0}}{a}\,\frac{a^{3}-b^{3}}{3}.

Passo 4

Pela Lei de Ampère, em um caminho circular de raio r=a:
B(a)\,(2\pi a)=\mu_{0}\,I \quad\Longrightarrow\quad B(a)=\frac{\mu_{0}\,I}{2\pi a}.

Passo 5

Substituindo a expressão de I em B(a):
B(a) =\frac{\mu_{0}}{2\pi a}\;2\pi\,\frac{J_{0}}{a}\,\frac{a^{3}-b^{3}}{3} =\mu_{0}\,\frac{J_{0}}{3}\,\frac{a^{3}-b^{3}}{a^{2}}.

Passo 6

Usando a=4{,}0\times10^{-3}\,\mathrm m, b=2{,}0\times10^{-3}\,\mathrm m, J_{0}=1{,}0\,\mathrm A/m^{2} e \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{T\,m/A}, calcula-se
B(a)\approx1{,}5\times10^{-9}\,\mathrm T.

Resposta

B(a)\approx1{,}5\times10^{-9}\,\mathrm T.

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