A densidade de corrente \mathbf{J} no interior de um fio cilíndrico, oco e longo de raio externo a= 4,0 \mathrm{~mm} e interno b=2,0 \mathrm{~mm}, é paralela ao eixo central e seu módulo varia linearmente, entre a e b, com a distância radial, de acordo com a equação J=J_{o} r / a, onde J_{o}=1,0 \mathrm{~A} / \mathrm{m}^{2}. Determine o módulo do campo magnético para
r=a / 2

Passo 1

O enunciado dá um fio cilíndrico oco e longo com raio externo a=4,0\\ \mathrm{mm} e interno b=2,0\\ \mathrm{mm}. A densidade de corrente vale
J(r)=J_{0}\,\frac{r}{a}\quad\text{para }b\le r\le a,
com J_{0}=1,0\\ \mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}. Precisamos achar o módulo do campo magnético para r=a/2.

Passo 2

Calcule r=a/2:
r=\frac{a}{2}=\frac{4{,}0\\ \mathrm{mm}}{2}=2{,}0\\ \mathrm{mm}=b.
Logo para qualquer r\le b estamos dentro do oco, onde não há corrente.

Passo 3

A corrente envolvida pelo caminho circular de raio r\le b é
I_{\rm enc}=\int_{0}^{r}J(r')\,\mathrm{d}A=0,
pois J(r')=0 em todo o interior oco ( r'<b).

Passo 4

Pela lei de Ampère em simetria cilíndrica:
\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=B\,(2\pi r)=\mu_{0}I_{\rm enc}
Como I_{\rm enc}=0, segue B=0.

Resposta

Para r=a/2, o módulo do campo magnético é 0\\ \mathrm{T}.

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