Uma densidade esférica de carga
existe numa região
. Essa densidade está concentricamente rodeada por uma casca esférica condutora com raio interno
e raio externo
. Determine o campo elétrico
em todo espaço. Valor: 2,5
Passo 1
Beleza, então o exercício diz que temos uma densidade de carga esférica
para
, e em volta disso há uma casca condutora que ocupa
. A gente precisa achar o campo elétrico
em todo lugar.
Conteúdo: Lei de Gauss em simetria esférica. Vamos usar:
Conteúdo: Lei de Gauss em simetria esférica. Vamos usar:
- Calcular a carga total “dentro” de um raio
via . - Aplicar a forma diferencial de Gauss em regime estático e simetria:
- Lembrar que dentro do condutor
e que cargas livres se rearranjam para anular o campo ali.
Passo 2
Região
.
- Primeiro, calculamos a carga interna até
:
- Fazendo as integrais:
, .
- Pela Lei de Gauss:
Passo 3
Região
(antes do condutor).
Agora toda a carga da esfera (até ) está dentro do nosso
, então
Agora toda a carga da esfera (até
Assim
Passo 4
Região
(dentro do material condutor).
Por definição de condutor em equilíbrio eletrostático, . As cargas livres se reorganizam: aparece
na superfície interna
e
na externa
, garantindo
no interior.
Por definição de condutor em equilíbrio eletrostático,
Passo 5
Região
(fora de tudo).
O condutor é isolado e neutro, então a carga líquida na casca é zero, mas ela transferiu para dentro e
para fora. Logo, visto de fora, a carga total é
O condutor é isolado e neutro, então a carga líquida na casca é zero, mas ela transferiu
Então para
volta a valer
Resposta
Portanto, em todas as regiões: