Uma densidade esférica de carga 0 <= r <= b existe numa região Ri>b. Essa densidade está concentricamente rodeada por uma casca esférica condutora com raio interno Re e raio externo tildeE. Determine o campo elétrico em todo espaço. Valor: 2,5

Passo 1

Beleza, então o exercício diz que temos uma densidade de carga esférica
E(r),4pi r^2 = Qrm int(r)varepsilon0 para , e em volta disso há uma casca condutora que ocupa . A gente precisa achar o campo elétrico em todo lugar.
Conteúdo: Lei de Gauss em simetria esférica. Vamos usar:
  1. Calcular a carga total “dentro” de um raio via .
  2. Aplicar a forma diferencial de Gauss em regime estático e simetria:
  1. Lembrar que dentro do condutor e que cargas livres se rearranjam para anular o campo ali.

Passo 2

Região Qrm int(r) =integral0^r rho0l(1-r'^2b^2r),4pi r'^2,dr' =4pirho0!l[integral0^r r'^2dr' ;-;1b^2integral0^r r'^4dr'r] .
  1. Primeiro, calculamos a carga interna até Qrm int(r) =4pirho0l(tfracr^33-tfracr^55b^2r) :
E(r),4pi r^2 = Qrm int(r)varepsilon0 ;Longrightarrow; E(r) =14pivarepsilon0Qrm int(r)r^2 =rho0varepsilon0l(r3-r^35b^2r)
  1. Fazendo as integrais: , .
  1. Pela Lei de Gauss:

Passo 3

Região Qrm total = Qrm int(b) =4pirho0l(tfracb^33-tfracb^55b^2r) =4pirho0,b^3l(tfrac13-tfrac15r) =8pirho0,b^315 (antes do condutor).
Agora toda a carga da esfera (até E(r)=14pivarepsilon0Qrm totalr^2 =14pivarepsilon08pirho0,b^3/15r^2 =rho0,b^3varepsilon0,215,1r^2 ) está dentro do nosso , então
Assim

Passo 4

Região (dentro do material condutor).
Por definição de condutor em equilíbrio eletrostático, . As cargas livres se reorganizam: aparece na superfície interna e na externa , garantindo no interior.

Passo 5

Região Qrm total^rm visível=Qrm esfera+Qrm cascaexterna =Qrm total+Qrm total-Qrm total=Qrm total (fora de tudo).
O condutor é isolado e neutro, então a carga líquida na casca é zero, mas ela transferiu E(r)=14pivarepsilon0Qrm totalr^2 =rho0,b^3varepsilon0,215,1r^2 para dentro e para fora. Logo, visto de fora, a carga total é
í
Então para volta a valer

Resposta

Portanto, em todas as regiões:
tilde E(r)= rho0varepsilon0l(r3-r^35,b^2r),hat r, &0<= r<= b,[6pt] rho0,b^3varepsilon0,215,1r^2,hat r, &bRe

Exercícios relacionados