Um disco anular de raio interno a e raio externo b está localizado sobre o plano x y e centrado na origem. Se o disco carrega uma densidade superfical uniforme de carga sigma0. Estime o campo elétrico tildeE; sobre uma distância h posicionada no eixo de simetria do anel, ou seja, na posição ( 0,0, h ). Estime o campo para pontos distantes do anel ( h gg 1 ). Interprete o resultado.
Valor: 2,5

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: temos um disco anular (um “donut” bem fininho) com raio interno e externo , carga superficial uniforme , centrado na origem e no plano . Queremos estimar o campo elétrico no ponto ao longo do eixo, no regime .
Conteúdo: eletrostática, campo de um disco carregado e superposição de campos. Vamos precisar da expressão do campo no eixo de um disco cheio e depois subtrair o “furo” interno, além de usar expansão para .

Passo 2

Campo de um disco cheio de raio E!z^rm disco(R) =sigma02varepsilon0,l(1-hraizh^2+R^2r) no ponto :
Isso sai integrando anéis concêntricos ou consultando a fórmula padrão. A direção é ao longo de .

Passo 3

Para o anel (o disco anular) usamos superposição:
campo do disco de raio Ez =E!z^rm disco(b)-E!z^rm disco(a) =sigma02varepsilon0 l(1-hraizh^2+b^2-1+hraizh^2+a^2r) =sigma02varepsilon0l(hraizh^2+a^2-hraizh^2+b^2r) menos o disco de raio . Logo

Passo 4

Agora aproximamos para hraizh^2+R^2 =1raiz1+(R/h)^2 approx 1-R^22h^2 (R=a,b) (e também hraizh^2+a^2-hraizh^2+b^2 approxl(1-a^22h^2r)-l(1-b^22h^2r) =b^2-a^22h^2 ). Usamos a expansão
Ezapproxsigma02varepsilon0,b^2-a^22h^2 =sigma0,(b^2-a^2)4varepsilon0,h^2
Substituindo:
Então

Passo 5

Interpretação: a gente vê que, bem longe, o anel “parece” uma carga pontual . O campo cai como , igual ao de uma carga , pois

Resposta

boxedEzapproxsigma0,(b^2-a^2)4varepsilon0,h^2,hat z para hgg b

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