O átomo de hidrogênio em seu estado normal pode ser reduzido como uma distribuição elétrica de carga que consiste de uma carga positiva
rodeada por uma distribuição de carga negativa, cuja densidade é dada por
. Onde
é o raio de Bohr (
), e
é uma constante que contém um valor necessário para fazer a quantidade total de carga negativa ser exatamente
. Qual é a carga elétrica líquida no interior de uma esfera de raio
? Qual é o módulo do campo elétrico a essa distância do núcleo?
Valor: 2,5
Valor: 2,5
Passo 1
Beleza, o enunciado fala de um átomo de hidrogênio visto como uma carga pontual positiva
no núcleo e uma “nuvem” de carga negativa com densidade
onde
é o raio de Bohr e
é ajustado pra que a carga negativa total dê
.
O que a gente precisa achar:
O que a gente precisa achar:
- A carga líquida dentro de uma esfera de raio
. - O módulo do campo elétrico a essa mesma distância.
Matéria envolvida: lei de Gauss e integração de densidade de carga.
Passo 2
Primeiro, achamos
fazendo a carga negativa total ser
.
A carga total negativa é
A carga total negativa é
Da teoria de integrais,
Logo
Então
Passo 3
Agora, a carga negativa dentro de uma esfera de raio
é
Essa integral dá (igual ao caso infinito, mas com limite
):
Substituindo
e simplificando, chega-se a
Então a carga total (núcleo
mais nuvem até
) é
Para
, isso vira
Passo 4
Pelo enunciado, agora queremos o campo elétrico em
.
Aplicando a lei de Gauss para uma superfície esférica de raio :
Aplicando a lei de Gauss para uma superfície esférica de raio
Se você quiser valor numérico, use
de onde sai
Resposta
Carga líquida em
:
Módulo do campo elétrico em
: