O átomo de hidrogênio em seu estado normal pode ser reduzido como uma distribuição elétrica de carga que consiste de uma carga positiva e rodeada por uma distribuição de carga negativa, cuja densidade é dada por rho(r)=-C e^-2 r / a0. Onde a0 é o raio de Bohr ( a0=0,53 times 10^-10 m ), e C é uma constante que contém um valor necessário para fazer a quantidade total de carga negativa ser exatamente e. Qual é a carga elétrica líquida no interior de uma esfera de raio a0 ? Qual é o módulo do campo elétrico a essa distância do núcleo?
Valor: 2,5

Passo 1

Beleza, o enunciado fala de um átomo de hidrogênio visto como uma carga pontual positiva rho(r) = -C,e^-2r/a0, no núcleo e uma “nuvem” de carga negativa com densidade
onde é o raio de Bohr e é ajustado pra que a carga negativa total dê .
O que a gente precisa achar:
  1. A carga líquida dentro de uma esfera de raio .
  2. O módulo do campo elétrico a essa mesma distância.
    Matéria envolvida: lei de Gauss e integração de densidade de carga.

Passo 2

Primeiro, achamos Q- = integral0^infty rho(r),4pi r^2,dr = -4pi C integral0^infty r^2 e^-2r/a0,dr fazendo a carga negativa total ser integral0^infty r^2 e^-alpha r,dr = 2alpha^3, aqui alpha=2a0 .
A carga total negativa é
integral0^infty r^2 e^-2r/a0,dr = 2(2/a0)^3 = a0^34
Da teoria de integrais,
Q- = -4pi C ,a0^34 = -pi C,a0^3 stackrel!=-e Longrightarrow C = epi,a0^3
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Então

Passo 3

Agora, a carga negativa dentro de uma esfera de raio Q-(r) = integral0^r rho(r'),4pi r'^2 dr' = -4pi C integral0^r r'^2 e^-2r'/a0dr' é
integral0^r r'^2 e^-2r'/a0dr' = a0^34l[1 - e^-2r/a0l(1 + tfrac2ra0 + tfrac2r^2a0^2r)r]
Essa integral dá (igual ao caso infinito, mas com limite Q-(r) = -e + e,e^-2r/a0l(1 + tfrac2ra0 + tfrac2r^2a0^2r) ):
Qrm enc(r) = +e + Q-(r) = e,e^-2r/a0l(1 + tfrac2ra0 + tfrac2r^2a0^2r)
Substituindo Qrm enc(a0) = e,e^-2,(1 + 2 + 2) = 5,e,e^-2 e simplificando, chega-se a
Então a carga total (núcleo mais nuvem até ) é
Para , isso vira

Passo 4

Pelo enunciado, agora queremos o campo elétrico em PhiE = E,(4pi a0^2) = Qrm enc(a0)varepsilon0 Longrightarrow E = Qrm enc(a0)4pivarepsilon0,a0^2 = 5,e,e^-24pivarepsilon0,a0^2 .
Aplicando a lei de Gauss para uma superfície esférica de raio e^-2approx0,1353, e=1,602times10^-19, C, a0=0,53times10^-10, m, varepsilon0=8,854times10^-12,F/m, :
Qrm enc(a0)approx1,08times10^-19, C, E(a0)approx3,5times10^11,V/m
Se você quiser valor numérico, use
de onde sai

Resposta

Carga líquida em Qrm enc(a0)=5,e,e^-2approx1,08times10^-19, C :
E(a0)=5,e,e^-24pivarepsilon0,a0^2approx3,5times10^11,V/m
Módulo do campo elétrico em :

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