Uma densidade volumétrica de carga de 8 \mu \mathrm{C} / \mathrm{m}^{3} está presente na região 5 \mathrm{~mm}<\mathrm{r}<8 \mathrm{~mm}. Considere que não há densidade de carga, ou seja, \rho_{\mathrm{v}}=0 para 0<r<5 \mathrm{~mm}. Determinar:
a) A carga total dentro da superfície esférica \mathrm{r}=8 \mathrm{~mm};
b) \mathrm{D}_{\mathrm{r}} em \mathrm{r}=8 \mathrm{~mm};
c) D_{r} em r=17 \mathrm{~mm}, considerando que não haja carga para r>8 \mathrm{~mm}.

Passo 1

O enunciado fornece uma densidade volumétrica de carga
\rho_{v}=8\times10^{-6}\,\mathrm{C/m^{3}}
válida na casca esférica 5\,\mathrm{mm}<r<8\,\mathrm{mm}, e nula em r<5\,\mathrm{mm} e em r>8\,\mathrm{mm}.
Queremos:
– (a) a carga total dentro de r=8\,\mathrm{mm};
– (b) o campo \mathbf{D} radial em r=8\,\mathrm{mm};
– (c) o campo \mathbf{D} radial em r=17\,\mathrm{mm}.
Para isso usaremos a lei de Gauss para \mathbf{D} em simetria esférica e a expressão de volume em coordenadas esféricas.

Passo 2

Calcular a carga total Q_{\mathrm{enc}} contida entre as esferas de raio r_{1}=5\times10^{-3}\,\mathrm{m} e r_{2}=8\times10^{-3}\,\mathrm{m}.
Q_{\mathrm{enc}} =\int_{r_{1}}^{r_{2}}\rho_{v}\,dV =\rho_{v}\,4\pi\int_{r_{1}}^{r_{2}}r^{2}dr =\rho_{v}\,4\pi\frac{r_{2}^{3}-r_{1}^{3}}{3}.
Substituindo valores,
r_{1}^{3}=(5\times10^{-3})^{3}=1{,}25\times10^{-7},\quad r_{2}^{3}=(8\times10^{-3})^{3}=5{,}12\times10^{-7},
Q_{\mathrm{enc}} =8\times10^{-6}\times4\pi\times\frac{5{,}12\times10^{-7}-1{,}25\times10^{-7}}{3} \approx1{,}296\times10^{-11}\,\mathrm{C}.

Passo 3

Pela lei de Gauss para \mathbf{D} em simetria esférica temos
\oint \mathbf{D}\cdot d\mathbf{A} =D_{r}(r)\,4\pi r^{2} =Q_{\mathrm{enc}}(r),
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D_{r}(r)=\frac{Q_{\mathrm{enc}}(r)}{4\pi r^{2}}.

Passo 4

Em r=8\,\mathrm{mm}=8\times10^{-3}\,\mathrm{m} a carga encerrada é justamente Q_{\mathrm{enc}} calculada no passo 2.
D_{r}(8\,\mathrm{mm}) =\frac{1{,}296\times10^{-11}}{4\pi\,(8\times10^{-3})^{2}} \approx1{,}61\times10^{-8}\,\mathrm{C/m^{2}}.

Passo 5

Para r=17\,\mathrm{mm}=17\times10^{-3}\,\mathrm{m}, não há carga extra além da já incluída em r<8\,\mathrm{mm}. Então
D_{r}(17\,\mathrm{mm}) =\frac{1{,}296\times10^{-11}}{4\pi\,(17\times10^{-3})^{2}} \approx3{,}57\times10^{-9}\,\mathrm{C/m^{2}}.

Resposta

(a) Q_{\mathrm{enc}}=1{,}296\times10^{-11}\,\mathrm{C}.
(b) D_{r}(8\,\mathrm{mm})\approx1{,}61\times10^{-8}\,\mathrm{C/m^{2}} radial.
(c) D_{r}(17\,\mathrm{mm})\approx3{,}57\times10^{-9}\,\mathrm{C/m^{2}} radial.

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